Математический анализ Примеры

$\int \frac{e^{\frac{1}{x^{3}}}}{x^{4}} d x$

Этап 1

Пусть $u = \frac{1}{x^{3}}$ . Тогда $d u = - \frac{3}{x^{4}} d x$ , следовательно $1 d u = - \frac{3}{x^{4}} d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \frac{1}{x^{3}}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Этап 1.1.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Перепишем $\frac{1}{x^{3}}$ в виде ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Этап 1.1.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

Этап 1.1.2.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 3$ .

$- 3 x^{- 4}$

Этап 1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{x^{4}}$

Этап 1.1.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- 3}{x^{4}}$

Этап 1.1.4.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3}{x^{4}}$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int - \frac{1}{3} e^{u} d u$

Этап 2

Поскольку $- \frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- \frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{3} \int e^{u} d u$

Этап 3

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$- \frac{1}{3} (e^{u} + C)$

Этап 4

Упростим.

$- \frac{1}{3} e^{u} + C$

Этап 5

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- \frac{1}{3} e^{\frac{1}{x^{3}}} + C$