Математический анализ Примеры

$\int x e^{2 x} d x$

Этап 1

Пусть $u = 2 x$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 1.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{u}{2} e^{u} \frac{1}{2} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\frac{u}{2}$ и $e^{u}$ .

$\int \frac{u e^{u}}{2} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 2.2

Умножим $\frac{u e^{u}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u e^{u}}{2 \cdot 2} d u$

Этап 2.3

Умножим $2$ на $2$ .

$\int \frac{u e^{u}}{4} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} \int u e^{u} d u$

Этап 4

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int w d v = w v - \int v d w$ , где $w = u$ и $dv = e^{u}$ .

$\frac{1}{4} (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

Этап 5

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$\frac{1}{4} (u e^{u} - (e^{u} + C))$

Этап 6

Упростим.

$\frac{1}{4} (u e^{u} - e^{u}) + C$

Этап 7

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$\frac{1}{4} (2 x e^{2 x} - e^{2 x}) + C$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{4} (2 x e^{2 x}) + \frac{1}{4} (- e^{2 x}) + C$

Этап 8.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 x e^{2 x}) + \frac{1}{4} (- e^{2 x}) + C$

Этап 8.2.2

Вынесем множитель $2$ из $2 x e^{2 x}$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 (x e^{2 x})) + \frac{1}{4} (- e^{2 x}) + C$

Этап 8.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 (x e^{2 x})) + \frac{1}{4} (- e^{2 x}) + C$

Этап 8.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} (- e^{2 x}) + C$

Этап 8.3

Объединим $x$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x}{2} e^{2 x} + \frac{1}{4} (- e^{2 x}) + C$

Этап 8.4

Объединим $\frac{x}{2}$ и $e^{2 x}$ .

$\frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{1}{4} (- e^{2 x}) + C$

Этап 8.5

Объединим $\frac{1}{4}$ и $e^{2 x}$ .

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4} + C$

Этап 9

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$