Математический анализ Примеры

$\int (x + 1) \sqrt{2 - x} d x$

Этап 1

Пусть $u = 2 - x$ . Тогда $d u = - d x$ , следовательно $- d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 2 - x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $2 - x$ .

$\frac{d}{d x} [2 - x]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $2 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Этап 1.1.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 - 1$

Этап 1.1.4

Вычтем $1$ из $0$ .

$- 1$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int (- (- u + 2) - 1) \sqrt{u} d u$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int (- (- u + 2) - 1) u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 3

Развернем $(- (- u + 2) - 1) u^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (- - u - 1 \cdot 2 - 1) u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (- - u - 1 \cdot 2) u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int - - u u^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 3.4

Перенесем круглые скобки.

$\int - - 1 u \cdot u^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 3.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\int 1 u \cdot u^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 3.6

Умножим $u$ на $1$ .

$\int u \cdot u^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 3.7

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\int u^{1} u^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 3.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int u^{1 + \frac{1}{2}} - 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 3.9

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\int u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 3.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int u^{\frac{2 + 1}{2}} - 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 3.11

Добавим $2$ и $1$ .

$\int u^{\frac{3}{2}} - 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 3.12

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\int u^{\frac{3}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 3.13

Вычтем $1 u^{\frac{1}{2}}$ из $- 2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int u^{\frac{3}{2}} - 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int u^{\frac{3}{2}} d u + \int - 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{\frac{3}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C + \int - 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 6

Поскольку $- 3$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 3$ из-под знака интеграла.

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C - 3 \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 7

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C - 3 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - 3 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Объединим $- 3$ и $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{- 3 \cdot 2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 8.2.2

Умножим $- 3$ на $2$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{- 6}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 8.2.3

Сократим общий множитель $- 6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Вынесем множитель $3$ из $- 6$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{3 \cdot - 2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 8.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{3 \cdot - 2}{3 (1)} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 8.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 1} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 8.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{- 2}{1} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 8.2.3.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - 2 u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 9

Заменим все вхождения $u$ на $2 - x$ .

$\frac{2}{5} {(2 - x)}^{\frac{5}{2}} - 2 {(2 - x)}^{\frac{3}{2}} + C$