Математический анализ Примеры

$\int x \sqrt{2 x + 1} d x$

Этап 1

Пусть $u = 2 x + 1$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 2 x + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 + 0$

Этап 1.1.4.2

Добавим $2$ и $0$ .

$2$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int (\frac{u}{2} - \frac{1}{2}) \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Этап 2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sqrt{u}$ .

$\int (\frac{u}{2} - \frac{1}{2}) \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Этап 2.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int (\frac{u}{2} - \frac{1}{2}) \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int \frac{u}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Этап 3.2

Умножим $\frac{u}{2}$ на $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\int \frac{u \cdot u^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Этап 3.3

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\int \frac{u^{1} u^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Этап 3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int \frac{u^{1 + \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Этап 3.5

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\int \frac{u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Этап 3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int \frac{u^{\frac{2 + 1}{2}}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Этап 3.7

Добавим $2$ и $1$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Этап 3.8

Умножим $2$ на $2$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Этап 3.9

Объединим $- \frac{1}{2}$ и $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 2} d u$

Этап 3.10

Умножим $2$ на $2$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{4} d u + \int - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{3}{2}} d u + \int - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{\frac{3}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + \int - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Этап 7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Этап 8

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - (\frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

Этап 9

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - \frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 10.2

Перепишем $\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ в виде $\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 10.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3 \cdot 4} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 10.3.2

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{12} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 10.3.3

Сократим общий множитель $2$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2 (1)}{12} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 10.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 10.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 10.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 11

Заменим все вхождения $u$ на $2 x + 1$ .

$\frac{1}{10} {(2 x + 1)}^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{6} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + C$