Математический анализ Примеры

$\int x^{2} \sqrt{1 - x} d x$

Этап 1

Пусть $u_{1} = 1 - x$ . Тогда $d u_{1} = - d x$ , следовательно $- d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u_{1} = 1 - x$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $1 - x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $1 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Этап 1.1.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 - 1$

Этап 1.1.4

Вычтем $1$ из $0$ .

$- 1$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int - {(- u_{1} + 1)}^{2} \sqrt{u_{1}} d u_{1}$

Этап 2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int {(- u_{1} + 1)}^{2} \sqrt{u_{1}} d u_{1}$

Этап 3

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u_{1}}$ в виде ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int {(- u_{1} + 1)}^{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} d u_{1}$

Этап 4

Пусть $u_{2} = - u_{1} + 1$ . Тогда $d u_{2} = - d u_{1}$ , следовательно $- d u_{2} = d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u_{2} = - u_{1} + 1$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $- u_{1} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1} + 1]$

Этап 4.1.2

По правилу суммы производная $- u_{1} + 1$ по $u_{1}$ имеет вид $\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $- u_{1}$ по $u_{1}$ равна $- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Этап 4.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $1$ относительно $u_{1}$ равна $0$ .

$- 1 + 0$

Этап 4.1.4.2

Добавим $- 1$ и $0$ .

$- 1$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$- \int - {u_{2}}^{2} {(- u_{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- - \int {u_{2}}^{2} {(- u_{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \int {u_{2}}^{2} {(- u_{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Этап 6.2

Умножим $\int {u_{2}}^{2} {(- u_{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$ на $1$ .

$\int {u_{2}}^{2} {(- u_{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Этап 7

Пусть $u_{3} = - u_{2} + 1$ . Тогда $d u_{3} = - d u_{2}$ , следовательно $- d u_{3} = d u_{2}$ . Перепишем, используя $u_{3}$ и $d$ $u_{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Пусть $u_{3} = - u_{2} + 1$ . Найдем $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Дифференцируем $- u_{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [- u_{2} + 1]$

Этап 7.1.2

По правилу суммы производная $- u_{2} + 1$ по $u_{2}$ имеет вид $\frac{d}{d u_{2}} [- u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [- u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Этап 7.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d u_{2}} [- u_{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $u_{2}$ , производная $- u_{2}$ по $u_{2}$ равна $- \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$ .

$- \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Этап 7.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Этап 7.1.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1 + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Этап 7.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $u_{2}$ , производная $1$ относительно $u_{2}$ равна $0$ .

$- 1 + 0$

Этап 7.1.4.2

Добавим $- 1$ и $0$ .

$- 1$

Этап 7.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{3}$ и $d u_{3}$ .

$\int - {(- u_{3} + 1)}^{2} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Этап 8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{3}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int {(- u_{3} + 1)}^{2} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем ${(- u_{3} + 1)}^{2}$ в виде $(- u_{3} + 1) (- u_{3} + 1)$ .

$- \int (- u_{3} + 1) (- u_{3} + 1) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Этап 9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \int (- u_{3} (- u_{3} + 1) + 1 (- u_{3} + 1)) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Этап 9.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- \int (- u_{3} (- u_{3}) - u_{3} \cdot 1 + 1 (- u_{3} + 1)) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Этап 9.4

Применим свойство дистрибутивности.

$- \int (- u_{3} (- u_{3}) - u_{3} \cdot 1 + 1 (- u_{3}) + 1 \cdot 1) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Этап 9.5

Применим свойство дистрибутивности.

$- \int (- u_{3} (- u_{3}) - u_{3} \cdot 1) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + (1 (- u_{3}) + 1 \cdot 1) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Этап 9.6

Применим свойство дистрибутивности.

$- \int - u_{3} (- u_{3}) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - u_{3} \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + (1 (- u_{3}) + 1 \cdot 1) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Этап 9.7

Применим свойство дистрибутивности.

$- \int - u_{3} (- u_{3}) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - u_{3} \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 (- u_{3}) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Этап 9.8

Перенесем $u_{3}$ .

$- \int - 1 \cdot - 1 u_{3} \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - u_{3} \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 (- u_{3}) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Этап 9.9

Перенесем $u_{3}$ .

$- \int - 1 \cdot - 1 u_{3} \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 (- u_{3}) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Этап 9.10

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \int 1 u_{3} \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Этап 9.11

Умножим $u_{3}$ на $1$ .

$- \int u_{3} \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Этап 9.12

Возведем $u_{3}$ в степень $1$ .

$- \int {u_{3}}^{1} u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Этап 9.13

Возведем $u_{3}$ в степень $1$ .

$- \int {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Этап 9.14

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \int {u_{3}}^{1 + 1} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Этап 9.15

Добавим $1$ и $1$ .

$- \int {u_{3}}^{2} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Этап 9.16

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \int {u_{3}}^{2 + \frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Этап 9.17

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \int {u_{3}}^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Этап 9.18

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \int {u_{3}}^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Этап 9.19

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \int {u_{3}}^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}} - 1 \cdot 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Этап 9.20

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.20.1

Умножим $2$ на $2$ .

$- \int {u_{3}}^{\frac{4 + 1}{2}} - 1 \cdot 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Этап 9.20.2

Добавим $4$ и $1$ .

$- \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - 1 \cdot 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Этап 9.21

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Этап 9.22

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$- \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - (u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + 1 \cdot - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Этап 9.23

Возведем $u_{3}$ в степень $1$ .

$- \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - ({u_{3}}^{1} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + 1 \cdot - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Этап 9.24

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{1 + \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Этап 9.25

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Этап 9.26

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{2 + 1}{2}} + 1 \cdot - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Этап 9.27

Добавим $2$ и $1$ .

$- \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Этап 9.28

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Этап 9.29

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$- \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - (u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Этап 9.30

Возведем $u_{3}$ в степень $1$ .

$- \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - ({u_{3}}^{1} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Этап 9.31

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - {u_{3}}^{1 + \frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Этап 9.32

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - {u_{3}}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Этап 9.33

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - {u_{3}}^{\frac{2 + 1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Этап 9.34

Добавим $2$ и $1$ .

$- \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Этап 9.35

Умножим $1$ на $1$ .

$- \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Этап 9.36

Умножим ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$- \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Этап 9.37

Вычтем ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ из $- {u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ .

$- \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Этап 9.38

Изменим порядок $- 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ и ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 10

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$- (\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3} + \int - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3})$

Этап 11

По правилу степени интеграл ${u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ по $u_{3}$ имеет вид $\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}}$ .

$- (\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C + \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3} + \int - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3})$

Этап 12

По правилу степени интеграл ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ по $u_{3}$ имеет вид $\frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ .

$- (\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C + \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C + \int - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3})$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Объединим $\frac{2}{7}$ и ${u_{3}}^{\frac{7}{2}}$ .

$- (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + C + \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C + \int - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3})$

Этап 13.2

Объединим $\frac{2}{3}$ и ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ .

$- (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + C + \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C + \int - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3})$

Этап 14

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $u_{3}$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + C + \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3})$

Этап 15

По правилу степени интеграл ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ по $u_{3}$ имеет вид $\frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ .

$- (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + C + \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C - 2 (\frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C))$

Этап 16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Объединим $\frac{2}{5}$ и ${u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ .

$- (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + C + \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C - 2 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

Этап 16.2

Упростим.

$- (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Этап 17

Изменим порядок членов.

$- (\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}}) + C$

Этап 18

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $- u_{2} + 1$ .

$- (\frac{2}{7} {(- u_{2} + 1)}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{3} {(- u_{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{5} {(- u_{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}) + C$

Этап 18.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- u_{1} + 1$ .

$- (\frac{2}{7} {(- (- u_{1} + 1) + 1)}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{3} {(- (- u_{1} + 1) + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{5} {(- (- u_{1} + 1) + 1)}^{\frac{5}{2}}) + C$

Этап 18.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $1 - x$ .

$- (\frac{2}{7} {(- (- (1 - x) + 1) + 1)}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{3} {(- (- (1 - x) + 1) + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{5} {(- (- (1 - x) + 1) + 1)}^{\frac{5}{2}}) + C$