Математический анализ Примеры

$e^{2 x - 1} \cdot y^{- 2}$

Этап 1

Запишем $e^{2 x - 1} \cdot y^{- 2}$ в виде функции.

$f (x) = e^{2 x - 1} \cdot y^{- 2}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int e^{2 x - 1} \cdot y^{- 2} d x$

Этап 4

Поскольку $y^{- 2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $y^{- 2}$ из-под знака интеграла.

$y^{- 2} \int e^{2 x - 1} d x$

Этап 5

Пусть $u = 2 x - 1$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = 2 x - 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Этап 5.1.2

По правилу суммы производная $2 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 5.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 5.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 5.1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 5.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 + 0$

Этап 5.1.4.2

Добавим $2$ и $0$ .

$2$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$y^{- 2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Этап 6

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{2}$ .

$y^{- 2} \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$y^{- 2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{- 2}$ .

$\frac{y^{- 2}}{2} \int e^{u} d u$

Этап 8.2

Перенесем $y^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 y^{2}} \int e^{u} d u$

Этап 9

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$\frac{1}{2 y^{2}} (e^{u} + C)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим.

$\frac{1}{2 y^{2}} e^{u} + C$

Этап 10.2

Объединим $\frac{1}{2 y^{2}}$ и $e^{u}$ .

$\frac{e^{u}}{2 y^{2}} + C$

Этап 11

Заменим все вхождения $u$ на $2 x - 1$ .

$\frac{e^{2 x - 1}}{2 y^{2}} + C$

Этап 12

Ответ ― первообразная функции $f (x) = e^{2 x - 1} \cdot y^{- 2}$ .

$F (x) =$ $\frac{e^{2 x - 1}}{2 y^{2}} + C$