Математический анализ Примеры

$y = \frac{4 x^{3}}{2 x^{2} - 5}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{4 x^{3}}{2 x^{2} - 5})$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{4 x^{3}}{2 x^{2} - 5}$ по $y$ равна $4 \frac{d}{d y} [\frac{x^{3}}{2 x^{2} - 5}]$ .

$4 \frac{d}{d y} [\frac{x^{3}}{2 x^{2} - 5}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ имеет вид $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ , где $f (y) = x^{3}$ и $g (y) = 2 x^{2} - 5$ .

$4 \frac{(2 x^{2} - 5) \frac{d}{d y} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d y} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = y^{3}$ и $g (y) = x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x$ .

$4 \frac{(2 x^{2} - 5) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d y} [x]) - x^{3} \frac{d}{d y} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 \frac{(2 x^{2} - 5) (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d y} [x]) - x^{3} \frac{d}{d y} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x$ .

$4 \frac{(2 x^{2} - 5) (3 x^{2} \frac{d}{d y} [x]) - x^{3} \frac{d}{d y} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 3.4

Перенесем $3$ влево от $2 x^{2} - 5$ .

$4 \frac{3 \cdot (2 x^{2} - 5) x^{2} \frac{d}{d y} [x] - x^{3} \frac{d}{d y} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 3.5

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - x^{3} \frac{d}{d y} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 3.6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

По правилу суммы производная $2 x^{2} - 5$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 5]$ .

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - x^{3} (\frac{d}{d y} [2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 3.6.2

Поскольку $2$ является константой относительно $y$ , производная $2 x^{2}$ по $y$ равна $2 \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - x^{3} (2 \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 3.7

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x$ .

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - x^{3} (2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 3.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - x^{3} (2 (2 u_{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 3.7.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x$ .

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - x^{3} (2 (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 3.8

Умножим $2$ на $2$ .

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - x^{3} (4 (x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 3.9

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - x^{3} (4 x x' + \frac{d}{d y} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 3.10

Поскольку $- 5$ является константой относительно $y$ , производная $- 5$ относительно $y$ равна $0$ .

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - x^{3} (4 x x' + 0)}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 3.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Добавим $4 x x'$ и $0$ .

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - x^{3} (4 x x')}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 3.11.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - 4 x^{3} (x x')}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 3.12

Возведем $x$ в степень $1$ .

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - 4 (x^{1} x^{3}) x'}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 3.13

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - 4 x^{1 + 3} x'}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 3.14

Добавим $1$ и $3$ .

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - 4 x^{4} x'}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 3.15

Объединим $4$ и $\frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - 4 x^{4} x'}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$ .

$\frac{4 (3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - 4 x^{4} x')}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 3.16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.16.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 ((3 (2 x^{2}) + 3 \cdot - 5) x^{2} x' - 4 x^{4} x')}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 3.16.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 ((3 (2 x^{2}) x^{2} + 3 \cdot - 5 x^{2}) x' - 4 x^{4} x')}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 3.16.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 (3 (2 x^{2}) x^{2} x' + 3 \cdot - 5 x^{2} x' - 4 x^{4} x')}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 3.16.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 (3 (2 x^{2}) x^{2} x') + 4 (3 \cdot - 5 x^{2} x') + 4 (- 4 x^{4} x')}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 3.16.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.16.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.16.5.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.16.5.1.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{4 (3 (2 (x^{2} x^{2})) x') + 4 (3 \cdot - 5 x^{2} x') + 4 (- 4 x^{4} x')}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 3.16.5.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 (3 (2 x^{2 + 2}) x') + 4 (3 \cdot - 5 x^{2} x') + 4 (- 4 x^{4} x')}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 3.16.5.1.1.3

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{4 (3 (2 x^{4}) x') + 4 (3 \cdot - 5 x^{2} x') + 4 (- 4 x^{4} x')}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 3.16.5.1.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{4 (6 x^{4} x') + 4 (3 \cdot - 5 x^{2} x') + 4 (- 4 x^{4} x')}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 3.16.5.1.3

Умножим $6$ на $4$ .

$\frac{24 (x^{4} x') + 4 (3 \cdot - 5 x^{2} x') + 4 (- 4 x^{4} x')}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 3.16.5.1.4

Умножим $3$ на $- 5$ .

$\frac{24 x^{4} x' + 4 (- 15 x^{2} x') + 4 (- 4 x^{4} x')}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 3.16.5.1.5

Умножим $- 15$ на $4$ .

$\frac{24 x^{4} x' - 60 (x^{2} x') + 4 (- 4 x^{4} x')}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 3.16.5.1.6

Умножим $- 4$ на $4$ .

$\frac{24 x^{4} x' - 60 x^{2} x' - 16 x^{4} x'}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 3.16.5.2

Вычтем $16 x^{4} x'$ из $24 x^{4} x'$ .

$\frac{8 x^{4} x' - 60 x^{2} x'}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 3.16.6

Вынесем множитель $4 x^{2} x'$ из $8 x^{4} x' - 60 x^{2} x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.16.6.1

Вынесем множитель $4 x^{2} x'$ из $8 x^{4} x'$ .

$\frac{4 x^{2} x' (2 x^{2}) - 60 x^{2} x'}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 3.16.6.2

Вынесем множитель $4 x^{2} x'$ из $- 60 x^{2} x'$ .

$\frac{4 x^{2} x' (2 x^{2}) + 4 x^{2} x' (- 15)}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 3.16.6.3

Вынесем множитель $4 x^{2} x'$ из $4 x^{2} x' (2 x^{2}) + 4 x^{2} x' (- 15)$ .

$\frac{4 x^{2} x' (2 x^{2} - 15)}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 3.16.7

Изменим порядок множителей в $\frac{4 x^{2} x' (2 x^{2} - 15)}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$ .

$\frac{4 x^{2} (2 x^{2} - 15) x'}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$1 = \frac{4 x^{2} (2 x^{2} - 15) x'}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 5

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{4 x^{2} (2 x^{2} - 15) x'}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}} = 1$ .

$\frac{4 x^{2} (2 x^{2} - 15) x'}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}} = 1$

Этап 5.2

Умножим обе части на ${(2 x^{2} - 5)}^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} (2 x^{2} - 15) x'}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}} {(2 x^{2} - 5)}^{2} = 1 {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Упростим $\frac{4 x^{2} (2 x^{2} - 15) x'}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}} {(2 x^{2} - 5)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.1

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.1.1

Сократим общий множитель ${(2 x^{2} - 5)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x^{2} (2 x^{2} - 15) x'}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}} {(2 x^{2} - 5)}^{2} = 1 {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

Этап 5.3.1.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$4 x^{2} (2 x^{2} - 15) x' = 1 {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

Этап 5.3.1.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(4 x^{2} (2 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 15) x' = 1 {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

Этап 5.3.1.1.1.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.1.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(4 \cdot 2 x^{2} x^{2} + 4 x^{2} \cdot - 15) x' = 1 {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

Этап 5.3.1.1.1.3.2

Умножим $- 15$ на $4$ .

$(4 \cdot 2 x^{2} x^{2} - 60 x^{2}) x' = 1 {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

Этап 5.3.1.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.2.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.2.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$(4 \cdot 2 (x^{2} x^{2}) - 60 x^{2}) x' = 1 {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

Этап 5.3.1.1.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(4 \cdot 2 x^{2 + 2} - 60 x^{2}) x' = 1 {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

Этап 5.3.1.1.2.1.3

Добавим $2$ и $2$ .

$(4 \cdot 2 x^{4} - 60 x^{2}) x' = 1 {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

Этап 5.3.1.1.2.2

Умножим $4$ на $2$ .

$(8 x^{4} - 60 x^{2}) x' = 1 {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

Этап 5.3.1.1.3

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$8 x^{4} x' - 60 x^{2} x' = 1 {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

Этап 5.3.1.1.3.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.3.2.1

Перенесем $x^{4}$ .

$8 x' x^{4} - 60 x^{2} x' = 1 {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

Этап 5.3.1.1.3.2.2

Перенесем $x^{2}$ .

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = 1 {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

Этап 5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Умножим ${(2 x^{2} - 5)}^{2}$ на $1$ .

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

Этап 5.4

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим ${(2 x^{2} - 5)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Перепишем ${(2 x^{2} - 5)}^{2}$ в виде $(2 x^{2} - 5) (2 x^{2} - 5)$ .

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = (2 x^{2} - 5) (2 x^{2} - 5)$

Этап 5.4.1.2

Развернем $(2 x^{2} - 5) (2 x^{2} - 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = 2 x^{2} (2 x^{2} - 5) - 5 (2 x^{2} - 5)$

Этап 5.4.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = 2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 5 - 5 (2 x^{2} - 5)$

Этап 5.4.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = 2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 5 - 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 5$

Этап 5.4.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = 2 \cdot 2 x^{2} x^{2} + 2 x^{2} \cdot - 5 - 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 5$

Этап 5.4.1.3.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.3.1.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = 2 \cdot 2 (x^{2} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 5 - 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 5$

Этап 5.4.1.3.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = 2 \cdot 2 x^{2 + 2} + 2 x^{2} \cdot - 5 - 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 5$

Этап 5.4.1.3.1.2.3

Добавим $2$ и $2$ .

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = 2 \cdot 2 x^{4} + 2 x^{2} \cdot - 5 - 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 5$

Этап 5.4.1.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = 4 x^{4} + 2 x^{2} \cdot - 5 - 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 5$

Этап 5.4.1.3.1.4

Умножим $- 5$ на $2$ .

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = 4 x^{4} - 10 x^{2} - 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 5$

Этап 5.4.1.3.1.5

Умножим $2$ на $- 5$ .

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = 4 x^{4} - 10 x^{2} - 10 x^{2} - 5 \cdot - 5$

Этап 5.4.1.3.1.6

Умножим $- 5$ на $- 5$ .

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = 4 x^{4} - 10 x^{2} - 10 x^{2} + 25$

Этап 5.4.1.3.2

Вычтем $10 x^{2}$ из $- 10 x^{2}$ .

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = 4 x^{4} - 20 x^{2} + 25$

Этап 5.4.2

Вынесем множитель $4 x' x^{2}$ из $8 x' x^{4} - 60 x' x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Вынесем множитель $4 x' x^{2}$ из $8 x' x^{4}$ .

$4 x' x^{2} (2 x^{2}) - 60 x' x^{2} = 4 x^{4} - 20 x^{2} + 25$

Этап 5.4.2.2

Вынесем множитель $4 x' x^{2}$ из $- 60 x' x^{2}$ .

$4 x' x^{2} (2 x^{2}) + 4 x' x^{2} \cdot - 15 = 4 x^{4} - 20 x^{2} + 25$

Этап 5.4.2.3

Вынесем множитель $4 x' x^{2}$ из $4 x' x^{2} (2 x^{2}) + 4 x' x^{2} \cdot - 15$ .

$4 x' x^{2} (2 x^{2} - 15) = 4 x^{4} - 20 x^{2} + 25$

Этап 5.4.3

Разделим каждый член $4 x' x^{2} (2 x^{2} - 15) = 4 x^{4} - 20 x^{2} + 25$ на $4 x^{2} (2 x^{2} - 15)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Разделим каждый член $4 x' x^{2} (2 x^{2} - 15) = 4 x^{4} - 20 x^{2} + 25$ на $4 x^{2} (2 x^{2} - 15)$ .

$\frac{4 x' x^{2} (2 x^{2} - 15)}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} = \frac{4 x^{4}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{- 20 x^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Этап 5.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x' x^{2} (2 x^{2} - 15)}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} = \frac{4 x^{4}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{- 20 x^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Этап 5.4.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x' x^{2} (2 x^{2} - 15)}{x^{2} (2 x^{2} - 15)} = \frac{4 x^{4}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{- 20 x^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Этап 5.4.3.2.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x' x^{2} (2 x^{2} - 15)}{x^{2} (2 x^{2} - 15)} = \frac{4 x^{4}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{- 20 x^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Этап 5.4.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x' (2 x^{2} - 15)}{2 x^{2} - 15} = \frac{4 x^{4}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{- 20 x^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Этап 5.4.3.2.3

Сократим общий множитель $2 x^{2} - 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x' (2 x^{2} - 15)}{2 x^{2} - 15} = \frac{4 x^{4}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{- 20 x^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Этап 5.4.3.2.3.2

Разделим $x'$ на $1$ .

$x' = \frac{4 x^{4}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{- 20 x^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Этап 5.4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.3.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$x' = \frac{4 x^{4}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{- 20 x^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Этап 5.4.3.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x' = \frac{x^{4}}{x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{- 20 x^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Этап 5.4.3.3.1.2

Сократим общий множитель $x^{4}$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4}$ .

$x' = \frac{x^{2} x^{2}}{x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{- 20 x^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Этап 5.4.3.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.3.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$x' = \frac{x^{2} x^{2}}{x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{- 20 x^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Этап 5.4.3.3.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$x' = \frac{x^{2}}{2 x^{2} - 15} + \frac{- 20 x^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Этап 5.4.3.3.1.3

Сократим общий множитель $- 20$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.3.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $- 20 x^{2}$ .

$x' = \frac{x^{2}}{2 x^{2} - 15} + \frac{4 (- 5 x^{2})}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Этап 5.4.3.3.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.3.1.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2} (2 x^{2} - 15)$ .

$x' = \frac{x^{2}}{2 x^{2} - 15} + \frac{4 (- 5 x^{2})}{4 (x^{2} (2 x^{2} - 15))} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Этап 5.4.3.3.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$x' = \frac{x^{2}}{2 x^{2} - 15} + \frac{4 (- 5 x^{2})}{4 (x^{2} (2 x^{2} - 15))} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Этап 5.4.3.3.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$x' = \frac{x^{2}}{2 x^{2} - 15} + \frac{- 5 x^{2}}{x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Этап 5.4.3.3.1.4

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.3.1.4.1

Сократим общий множитель.

$x' = \frac{x^{2}}{2 x^{2} - 15} + \frac{- 5 x^{2}}{x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Этап 5.4.3.3.1.4.2

Перепишем это выражение.

$x' = \frac{x^{2}}{2 x^{2} - 15} + \frac{- 5}{2 x^{2} - 15} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Этап 5.4.3.3.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x' = \frac{x^{2}}{2 x^{2} - 15} - \frac{5}{2 x^{2} - 15} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Этап 5.4.3.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x' = \frac{x^{2} - 5}{2 x^{2} - 15} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Этап 5.4.3.3.3

Чтобы записать $\frac{x^{2} - 5}{2 x^{2} - 15}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4 x^{2}}{4 x^{2}}$ .

$x' = \frac{x^{2} - 5}{2 x^{2} - 15} \cdot \frac{4 x^{2}}{4 x^{2}} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Этап 5.4.3.3.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(2 x^{2} - 15) \cdot 4 x^{2}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.3.4.1

Умножим $\frac{x^{2} - 5}{2 x^{2} - 15}$ на $\frac{4 x^{2}}{4 x^{2}}$ .

$x' = \frac{(x^{2} - 5) (4 x^{2})}{(2 x^{2} - 15) (4 x^{2})} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Этап 5.4.3.3.4.2

Изменим порядок множителей в $(2 x^{2} - 15) (4 x^{2})$ .

$x' = \frac{(x^{2} - 5) (4 x^{2})}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Этап 5.4.3.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$x' = \frac{(x^{2} - 5) (4 x^{2}) + 25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Этап 5.4.3.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.3.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x' = \frac{(x^{2} \cdot 4 - 5 \cdot 4) x^{2} + 25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Этап 5.4.3.3.6.2

Перенесем $4$ влево от $x^{2}$ .

$x' = \frac{(4 \cdot x^{2} - 5 \cdot 4) x^{2} + 25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Этап 5.4.3.3.6.3

Умножим $- 5$ на $4$ .

$x' = \frac{(4 \cdot x^{2} - 20) x^{2} + 25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Этап 5.4.3.3.6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$x' = \frac{4 x^{2} x^{2} - 20 x^{2} + 25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Этап 5.4.3.3.6.5

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.3.6.5.1

Перенесем $x^{2}$ .

$x' = \frac{4 (x^{2} x^{2}) - 20 x^{2} + 25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Этап 5.4.3.3.6.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x' = \frac{4 x^{2 + 2} - 20 x^{2} + 25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Этап 5.4.3.3.6.5.3

Добавим $2$ и $2$ .

$x' = \frac{4 x^{4} - 20 x^{2} + 25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Этап 5.4.3.3.6.6

Перепишем $4 x^{4} - 20 x^{2} + 25$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.3.6.6.1

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$x' = \frac{4 {(x^{2})}^{2} - 20 x^{2} + 25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Этап 5.4.3.3.6.6.2

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$x' = \frac{4 u^{2} - 20 u + 25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Этап 5.4.3.3.6.6.3

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.3.6.6.3.1

Перепишем $4 u^{2}$ в виде ${(2 u)}^{2}$ .

$x' = \frac{{(2 u)}^{2} - 20 u + 25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Этап 5.4.3.3.6.6.3.2

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$x' = \frac{{(2 u)}^{2} - 20 u + 5^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Этап 5.4.3.3.6.6.3.3

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$20 u = 2 \cdot (2 u) \cdot 5$

Этап 5.4.3.3.6.6.3.4

Перепишем многочлен.

$x' = \frac{{(2 u)}^{2} - 2 \cdot (2 u) \cdot 5 + 5^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Этап 5.4.3.3.6.6.3.5

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = 2 u$ и $b = 5$ .

$x' = \frac{{(2 u - 5)}^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Этап 5.4.3.3.6.6.4

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$x' = \frac{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Этап 6

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$