Математический анализ Примеры

$f (x) = 7 - 6 x^{2} + 12 x^{3}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 7 - 6 x^{2} + 12 x^{3} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 7 d x + \int - 6 x^{2} d x + \int 12 x^{3} d x$

Этап 4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$7 x + C + \int - 6 x^{2} d x + \int 12 x^{3} d x$

Этап 5

Поскольку $- 6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 6$ из-под знака интеграла.

$7 x + C - 6 \int x^{2} d x + \int 12 x^{3} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$7 x + C - 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 12 x^{3} d x$

Этап 7

Поскольку $12$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $12$ из-под знака интеграла.

$7 x + C - 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 12 \int x^{3} d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$7 x + C - 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 12 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

$7 x - 2 x^{3} + 12 (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

Этап 9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$7 x - 2 x^{3} + 12 \frac{x^{4}}{4} + C$

Этап 9.2.2

Объединим $12$ и $\frac{x^{4}}{4}$ .

$7 x - 2 x^{3} + \frac{12 x^{4}}{4} + C$

Этап 9.2.3

Сократим общий множитель $12$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Вынесем множитель $4$ из $12 x^{4}$ .

$7 x - 2 x^{3} + \frac{4 (3 x^{4})}{4} + C$

Этап 9.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$7 x - 2 x^{3} + \frac{4 (3 x^{4})}{4 (1)} + C$

Этап 9.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$7 x - 2 x^{3} + \frac{4 (3 x^{4})}{4 \cdot 1} + C$

Этап 9.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$7 x - 2 x^{3} + \frac{3 x^{4}}{1} + C$

Этап 9.2.3.2.4

Разделим $3 x^{4}$ на $1$ .

$7 x - 2 x^{3} + 3 x^{4} + C$

Этап 10

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 7 - 6 x^{2} + 12 x^{3}$ .

$F (x) =$ $7 x - 2 x^{3} + 3 x^{4} + C$