Математический анализ Примеры

$\frac{17}{2} - \frac{3}{2} \cos (\frac{π t}{6})$

Этап 1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $\frac{17}{2} - \frac{3}{2} \cos (\frac{π t}{6})$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [\frac{17}{2}] + \frac{d}{d t} [- \frac{3}{2} \cos (\frac{π t}{6})]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{17}{2}] + \frac{d}{d t} [- \frac{3}{2} \cos (\frac{π t}{6})]$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{17}{2}$ является константой относительно $t$ , производная $\frac{17}{2}$ относительно $t$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- \frac{3}{2} \cos (\frac{π t}{6})]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [- \frac{3}{2} \cos (\frac{π t}{6})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\cos (\frac{π t}{6})$ и $\frac{3}{2}$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- \frac{\cos (\frac{π t}{6}) \cdot 3}{2}]$

Этап 2.2

Перенесем $3$ влево от $\cos (\frac{π t}{6})$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- \frac{3 \cdot \cos (\frac{π t}{6})}{2}]$

Этап 2.3

Поскольку $- \frac{3}{2}$ является константой относительно $t$ , производная $- \frac{3 \cos (\frac{π t}{6})}{2}$ по $t$ равна $- \frac{3}{2} \frac{d}{d t} [\cos (\frac{π t}{6})]$ .

$0 - \frac{3}{2} \frac{d}{d t} [\cos (\frac{π t}{6})]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = \cos (t)$ и $g (t) = \frac{π t}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{π t}{6}$ .

$0 - \frac{3}{2} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d t} [\frac{π t}{6}])$

Этап 2.4.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$0 - \frac{3}{2} (- \sin (u) \frac{d}{d t} [\frac{π t}{6}])$

Этап 2.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{π t}{6}$ .

$0 - \frac{3}{2} (- \sin (\frac{π t}{6}) \frac{d}{d t} [\frac{π t}{6}])$

Этап 2.5

Поскольку $\frac{π}{6}$ является константой относительно $t$ , производная $\frac{π t}{6}$ по $t$ равна $\frac{π}{6} \frac{d}{d t} [t]$ .

$0 - \frac{3}{2} (- \sin (\frac{π t}{6}) (\frac{π}{6} \frac{d}{d t} [t]))$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - \frac{3}{2} (- \sin (\frac{π t}{6}) (\frac{π}{6} \cdot 1))$

Этап 2.7

Умножим $\frac{π}{6}$ на $1$ .

$0 - \frac{3}{2} (- \sin (\frac{π t}{6}) \frac{π}{6})$

Этап 2.8

Объединим $\frac{π}{6}$ и $\sin (\frac{π t}{6})$ .

$0 - \frac{3}{2} (- \frac{π \sin (\frac{π t}{6})}{6})$

Этап 2.9

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$0 + 1 (\frac{3}{2}) \frac{π \sin (\frac{π t}{6})}{6}$

Этап 2.10

Умножим $\frac{3}{2}$ на $1$ .

$0 + \frac{3}{2} \cdot \frac{π \sin (\frac{π t}{6})}{6}$

Этап 2.11

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{π \sin (\frac{π t}{6})}{6}$ .

$0 + \frac{3 (π \sin (\frac{π t}{6}))}{2 \cdot 6}$

Этап 2.12

Умножим $2$ на $6$ .

$0 + \frac{3 (π \sin (\frac{π t}{6}))}{12}$

Этап 2.13

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.1

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$0 + \frac{3 (π \sin (\frac{π t}{6}))}{3 \cdot 4}$

Этап 2.13.2

Сократим общий множитель.

$0 + \frac{3 (π \sin (\frac{π t}{6}))}{3 \cdot 4}$

Этап 2.13.3

Перепишем это выражение.

$0 + \frac{π \sin (\frac{π t}{6})}{4}$

Этап 3

Добавим $0$ и $\frac{π \sin (\frac{π t}{6})}{4}$ .

$\frac{π \sin (\frac{π t}{6})}{4}$