Математический анализ Примеры

$\sqrt[5]{x} - 2 e^{x}$

Этап 1

Запишем $\sqrt[5]{x} - 2 e^{x}$ в виде функции.

$f (x) = \sqrt[5]{x} - 2 e^{x}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \sqrt[5]{x} - 2 e^{x} d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \sqrt[5]{x} d x + \int - 2 e^{x} d x$

Этап 5

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{5}}$ .

$\int x^{\frac{1}{5}} d x + \int - 2 e^{x} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{5}}$ по $x$ имеет вид $\frac{5}{6} x^{\frac{6}{5}}$ .

$\frac{5}{6} x^{\frac{6}{5}} + C + \int - 2 e^{x} d x$

Этап 7

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$\frac{5}{6} x^{\frac{6}{5}} + C - 2 \int e^{x} d x$

Этап 8

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$\frac{5}{6} x^{\frac{6}{5}} + C - 2 (e^{x} + C)$

Этап 9

Упростим.

$\frac{5}{6} x^{\frac{6}{5}} - 2 e^{x} + C$

Этап 10

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \sqrt[5]{x} - 2 e^{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{5}{6} x^{\frac{6}{5}} - 2 e^{x} + C$