Математический анализ Примеры

$x^{2} = 4 y^{3} + 5 y^{2}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{2}) = \frac{d}{d x} (4 y^{3} + 5 y^{2})$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $4 y^{3} + 5 y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 y^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $y$ .

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Этап 3.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Этап 3.2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $y$ .

$4 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Этап 3.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$4 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Этап 3.2.4

Умножим $3$ на $4$ .

$12 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 y^{2}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$12 y^{2} y' + 5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 3.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $y$ .

$12 y^{2} y' + 5 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$12 y^{2} y' + 5 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $y$ .

$12 y^{2} y' + 5 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$12 y^{2} y' + 5 (2 y y')$

Этап 3.3.4

Умножим $2$ на $5$ .

$12 y^{2} y' + 10 y y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$2 x = 12 y^{2} y' + 10 y y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $12 y^{2} y' + 10 y y' = 2 x$ .

$12 y^{2} y' + 10 y y' = 2 x$

Этап 5.2

Вынесем множитель $2 y y'$ из $12 y^{2} y' + 10 y y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $2 y y'$ из $12 y^{2} y'$ .

$2 y y' (6 y) + 10 y y' = 2 x$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $2 y y'$ из $10 y y'$ .

$2 y y' (6 y) + 2 y y' \cdot 5 = 2 x$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $2 y y'$ из $2 y y' (6 y) + 2 y y' \cdot 5$ .

$2 y y' (6 y + 5) = 2 x$

Этап 5.3

Разделим каждый член $2 y y' (6 y + 5) = 2 x$ на $2 y (6 y + 5)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $2 y y' (6 y + 5) = 2 x$ на $2 y (6 y + 5)$ .

$\frac{2 y y' (6 y + 5)}{2 y (6 y + 5)} = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y y' (6 y + 5)}{2 y (6 y + 5)} = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

Этап 5.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y y' (6 y + 5)}{y (6 y + 5)} = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y y' (6 y + 5)}{y (6 y + 5)} = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

Этап 5.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (6 y + 5)}{6 y + 5} = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

Этап 5.3.2.3

Сократим общий множитель $6 y + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (6 y + 5)}{6 y + 5} = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

Этап 5.3.2.3.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

Этап 5.3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{x}{y (6 y + 5)}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y (6 y + 5)}$