Математический анализ Примеры

$\int \frac{3 (1 - \tan^{2} (x))}{\sec^{2} (x)} d x$

Этап 1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int \frac{1 - \tan^{2} (x)}{\sec^{2} (x)} d x$

Этап 2

Пусть $u = \tan (x)$ . Тогда $d u = \sec^{2} (x) d x$ , следовательно $- d u = - \sec^{2} (x) d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = \tan (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Этап 2.1.2

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$3 \int \frac{1}{1} (1 - u^{2}) d u$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сократим общий множитель.

$3 \int \frac{1}{1} (1 - u^{2}) d u$

Этап 3.1.2

Перепишем это выражение.

$3 \int 1 (1 - u^{2}) d u$

Этап 3.2

Умножим $1 - u^{2}$ на $1$ .

$3 \int 1 - u^{2} d u$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$3 (\int d u + \int - u^{2} d u)$

Этап 5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$3 (u + C + \int - u^{2} d u)$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$3 (u + C - \int u^{2} d u)$

Этап 7

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$3 (u + C - (\frac{1}{3} u^{3} + C))$

Этап 8

Упростим.

$3 (u - \frac{1}{3} u^{3}) + C$

Этап 9

Заменим все вхождения $u$ на $\tan (x)$ .

$3 (\tan (x) - \frac{1}{3} \tan^{3} (x)) + C$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим $\tan^{3} (x)$ и $\frac{1}{3}$ .

$3 (\tan (x) - \frac{\tan^{3} (x)}{3}) + C$

Этап 10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 \tan (x) + 3 (- \frac{\tan^{3} (x)}{3}) + C$

Этап 10.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\tan^{3} (x)}{3}$ в числитель.

$3 \tan (x) + 3 \frac{- \tan^{3} (x)}{3} + C$

Этап 10.3.2

Сократим общий множитель.

$3 \tan (x) + 3 \frac{- \tan^{3} (x)}{3} + C$

Этап 10.3.3

Перепишем это выражение.

$3 \tan (x) - \tan^{3} (x) + C$