Математический анализ Примеры

$\tan (x y) = x$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d y} (\tan (x y)) = \frac{d}{d y} (x)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = \tan (y)$ и $g (y) = x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d y} [x y]$

Этап 2.1.2

Производная $\tan (u)$ по $u$ равна $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d y} [x y]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x y$ .

$\sec^{2} (x y) \frac{d}{d y} [x y]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ имеет вид $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , где $f (y) = x$ и $g (y) = y$ .

$\sec^{2} (x y) (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x])$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\sec^{2} (x y) (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x])$

Этап 2.3.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\sec^{2} (x y) (x + y \frac{d}{d y} [x])$

Этап 2.4

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$\sec^{2} (x y) (x + y x')$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sec^{2} (x y) x + \sec^{2} (x y) (y x')$

Этап 2.5.2

Изменим порядок членов.

$x \sec^{2} (x y) + y \sec^{2} (x y) x'$

Этап 3

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$x'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$x \sec^{2} (x y) + y \sec^{2} (x y) x' = x'$

Этап 5

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Изменим порядок множителей в $x \sec^{2} (x y) + y \sec^{2} (x y) x'$ .

$x \sec^{2} (x y) + y x' \sec^{2} (x y) = x'$

Этап 5.2

Вычтем $x'$ из обеих частей уравнения.

$x \sec^{2} (x y) + y x' \sec^{2} (x y) - x' = 0$

Этап 5.3

Вычтем $x \sec^{2} (x y)$ из обеих частей уравнения.

$y x' \sec^{2} (x y) - x' = - x \sec^{2} (x y)$

Этап 5.4

Вынесем множитель $x'$ из $y x' \sec^{2} (x y) - x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $x'$ из $y x' \sec^{2} (x y)$ .

$x' (y \sec^{2} (x y)) - x' = - x \sec^{2} (x y)$

Этап 5.4.2

Вынесем множитель $x'$ из $- x'$ .

$x' (y \sec^{2} (x y)) + x' \cdot - 1 = - x \sec^{2} (x y)$

Этап 5.4.3

Вынесем множитель $x'$ из $x' (y \sec^{2} (x y)) + x' \cdot - 1$ .

$x' (y \sec^{2} (x y) - 1) = - x \sec^{2} (x y)$

Этап 5.5

Разделим каждый член $x' (y \sec^{2} (x y) - 1) = - x \sec^{2} (x y)$ на $y \sec^{2} (x y) - 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Разделим каждый член $x' (y \sec^{2} (x y) - 1) = - x \sec^{2} (x y)$ на $y \sec^{2} (x y) - 1$ .

$\frac{x' (y \sec^{2} (x y) - 1)}{y \sec^{2} (x y) - 1} = \frac{- x \sec^{2} (x y)}{y \sec^{2} (x y) - 1}$

Этап 5.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Сократим общий множитель $y \sec^{2} (x y) - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x' (y \sec^{2} (x y) - 1)}{y \sec^{2} (x y) - 1} = \frac{- x \sec^{2} (x y)}{y \sec^{2} (x y) - 1}$

Этап 5.5.2.1.2

Разделим $x'$ на $1$ .

$x' = \frac{- x \sec^{2} (x y)}{y \sec^{2} (x y) - 1}$

Этап 5.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x' = - \frac{x \sec^{2} (x y)}{y \sec^{2} (x y) - 1}$

Этап 6

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x \sec^{2} (x y)}{y \sec^{2} (x y) - 1}$