Математический анализ Примеры

$\int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} x \sin (x) d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = \sin (x)$ .

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} - \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} - \cos (x) d x$

Этап 2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} - - \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} \cos (x) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} + 1 \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} \cos (x) d x$

Этап 3.2

Умножим $\int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} \cos (x) d x$ на $1$ .

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} \cos (x) d x$

Этап 4

Интеграл $\cos (x)$ по $x$ имеет вид $\sin (x)$ .

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} + \sin (x)]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}}$ и $\sin (x)]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}}$ .

$x (- \cos (x)) + \sin (x)]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}}$

Этап 5.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Найдем значение $x (- \cos (x)) + \sin (x)$ в $\frac{3 π}{2}$ и в $\frac{π}{2}$ .

$(\frac{3 π}{2} (- \cos (\frac{3 π}{2})) + \sin (\frac{3 π}{2})) - (\frac{π}{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + \sin (\frac{π}{2}))$

Этап 5.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Объединим $\frac{3 π}{2}$ и $\cos (\frac{3 π}{2})$ .

$- \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{2})}{2} + \sin (\frac{3 π}{2}) - (\frac{π}{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + \sin (\frac{π}{2}))$

Этап 5.2.2.2

Объединим $\frac{π}{2}$ и $\cos (\frac{π}{2})$ .

$- \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{2})}{2} + \sin (\frac{3 π}{2}) - (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}))$

Этап 5.2.2.3

Чтобы записать $- (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}))$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{2})}{2} - (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2})) \cdot \frac{2}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 5.2.2.4

Объединим $- (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}))$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{2})}{2} + \frac{- (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2})) \cdot 2}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 5.2.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2})) \cdot 2}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 5.2.2.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}))}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{π \cdot 0}{2} + \sin (\frac{π}{2}))}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 5.3.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{π \cdot 0}{2} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 5.3.3

Умножим $π$ на $0$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{0}{2} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 5.3.4

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{2 (0)}{2} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 5.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 5.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 5.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{0}{1} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 5.3.4.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- 0 + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 5.3.5

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (0 + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 5.3.6

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 \cdot 1}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 5.3.7

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 5.3.8

Чтобы записать $\sin (\frac{3 π}{2})$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2}{2} + \sin (\frac{3 π}{2}) \cdot \frac{2}{2}$

Этап 5.3.9

Объединим $\sin (\frac{3 π}{2})$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2}{2} + \frac{\sin (\frac{3 π}{2}) \cdot 2}{2}$

Этап 5.3.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 + \sin (\frac{3 π}{2}) \cdot 2}{2}$

Этап 5.3.11

Перенесем $2$ влево от $\sin (\frac{3 π}{2})$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 + 2 \cdot \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Этап 5.3.12

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 π \cos (\frac{3 π}{2})$ .

$\frac{- (3 π \cos (\frac{3 π}{2})) - 2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Этап 5.3.13

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$\frac{- (3 π \cos (\frac{3 π}{2})) - 1 (2) + 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Этап 5.3.14

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 π \cos (\frac{3 π}{2})) - 1 (2)$ .

$\frac{- (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2) + 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Этап 5.3.15

Вынесем множитель $- 1$ из $2 \sin (\frac{3 π}{2})$ .

$\frac{- (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2) - (- 2 \sin (\frac{3 π}{2}))}{2}$

Этап 5.3.16

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2) - (- 2 \sin (\frac{3 π}{2}))$ .

$\frac{- (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2}))}{2}$

Этап 5.3.17

Перепишем $- (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2}))$ в виде $- 1 (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2}))$ .

$\frac{- 1 (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2}))}{2}$

Этап 5.3.18

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Этап 5.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$- \frac{3 π \cos (\frac{π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Этап 5.4.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$- \frac{3 π \cdot 0 + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Этап 5.4.3

Умножим $3 π \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Умножим $0$ на $3$ .

$- \frac{0 π + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Этап 5.4.3.2

Умножим $0$ на $π$ .

$- \frac{0 + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Этап 5.4.4

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$- \frac{0 + 2 - 2 (- \sin (\frac{π}{2}))}{2}$

Этап 5.4.5

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$- \frac{0 + 2 - 2 (- 1 \cdot 1)}{2}$

Этап 5.4.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{0 + 2 - 2 \cdot - 1}{2}$

Этап 5.4.7

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$- \frac{0 + 2 + 2}{2}$

Этап 5.4.8

Сократим общий множитель $0 + 2 + 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.8.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$- \frac{2 \cdot 0 + 2 + 2}{2}$

Этап 5.4.8.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{2 \cdot 0 + 2 \cdot 1 + 2}{2}$

Этап 5.4.8.3

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 0 + 2 \cdot 1$ .

$- \frac{2 \cdot (0 + 1) + 2}{2}$

Этап 5.4.8.4

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{2 \cdot (0 + 1) + 2 \cdot 1}{2}$

Этап 5.4.8.5

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot (0 + 1) + 2 (1)$ .

$- \frac{2 \cdot (0 + 1 + 1)}{2}$

Этап 5.4.8.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.8.6.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{2 \cdot (0 + 1 + 1)}{2 (1)}$

Этап 5.4.8.6.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{2 \cdot (0 + 1 + 1)}{2 \cdot 1}$

Этап 5.4.8.6.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{0 + 1 + 1}{1}$

Этап 5.4.8.6.4

Разделим $0 + 1 + 1$ на $1$ .

$- (0 + 1 + 1)$

Этап 5.4.9

Добавим $0$ и $1$ .

$- (1 + 1)$

Этап 5.4.10

Добавим $1$ и $1$ .

$- 1 \cdot 2$

Этап 5.4.11

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2$