Математический анализ Примеры

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + x - 1}{x - 2}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x - 1$ и $g (x) = x - 2$ .

$\frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x^{2} + x - 1] - (x^{3} - 2 x^{2} + x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{3} - 2 x^{2} + x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{3} - 2 x^{2} + x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{(x - 2) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{3} - 2 x^{2} + x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.3

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{2}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x - 2) (3 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{3} - 2 x^{2} + x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(x - 2) (3 x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{3} - 2 x^{2} + x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.5

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{(x - 2) (3 x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{3} - 2 x^{2} + x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x - 2) (3 x^{2} - 4 x + 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{3} - 2 x^{2} + x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.7

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x - 2) (3 x^{2} - 4 x + 1 + 0) - (x^{3} - 2 x^{2} + x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.8

Добавим $3 x^{2} - 4 x + 1$ и $0$ .

$\frac{(x - 2) (3 x^{2} - 4 x + 1) - (x^{3} - 2 x^{2} + x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.9

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(x - 2) (3 x^{2} - 4 x + 1) - (x^{3} - 2 x^{2} + x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x - 2) (3 x^{2} - 4 x + 1) - (x^{3} - 2 x^{2} + x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.11

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x - 2) (3 x^{2} - 4 x + 1) - (x^{3} - 2 x^{2} + x - 1) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.12

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{(x - 2) (3 x^{2} - 4 x + 1) - (x^{3} - 2 x^{2} + x - 1) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2.12.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{(x - 2) (3 x^{2} - 4 x + 1) - (x^{3} - 2 x^{2} + x - 1)}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x - 2) (3 x^{2} - 4 x + 1) - x^{3} - (- 2 x^{2}) - x - - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Развернем $(x - 2) (3 x^{2} - 4 x + 1)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$\frac{x (3 x^{2}) + x (- 4 x) + x \cdot 1 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 4 x) - 2 \cdot 1 - x^{3} - (- 2 x^{2}) - x - - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{3 x \cdot x^{2} + x (- 4 x) + x \cdot 1 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 4 x) - 2 \cdot 1 - x^{3} - (- 2 x^{2}) - x - - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x) + x (- 4 x) + x \cdot 1 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 4 x) - 2 \cdot 1 - x^{3} - (- 2 x^{2}) - x - - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.2.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{1}) + x (- 4 x) + x \cdot 1 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 4 x) - 2 \cdot 1 - x^{3} - (- 2 x^{2}) - x - - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 x^{2 + 1} + x (- 4 x) + x \cdot 1 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 4 x) - 2 \cdot 1 - x^{3} - (- 2 x^{2}) - x - - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{3 x^{3} + x (- 4 x) + x \cdot 1 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 4 x) - 2 \cdot 1 - x^{3} - (- 2 x^{2}) - x - - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{3 x^{3} - 4 x \cdot x + x \cdot 1 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 4 x) - 2 \cdot 1 - x^{3} - (- 2 x^{2}) - x - - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.4.1

Перенесем $x$ .

$\frac{3 x^{3} - 4 (x \cdot x) + x \cdot 1 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 4 x) - 2 \cdot 1 - x^{3} - (- 2 x^{2}) - x - - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{3 x^{3} - 4 x^{2} + x \cdot 1 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 4 x) - 2 \cdot 1 - x^{3} - (- 2 x^{2}) - x - - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.5

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{3 x^{3} - 4 x^{2} + x - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 4 x) - 2 \cdot 1 - x^{3} - (- 2 x^{2}) - x - - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.6

Умножим $3$ на $- 2$ .

$\frac{3 x^{3} - 4 x^{2} + x - 6 x^{2} - 2 (- 4 x) - 2 \cdot 1 - x^{3} - (- 2 x^{2}) - x - - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.7

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$\frac{3 x^{3} - 4 x^{2} + x - 6 x^{2} + 8 x - 2 \cdot 1 - x^{3} - (- 2 x^{2}) - x - - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.8

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{3 x^{3} - 4 x^{2} + x - 6 x^{2} + 8 x - 2 - x^{3} - (- 2 x^{2}) - x - - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 3.2.1.3

Вычтем $6 x^{2}$ из $- 4 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{3} - 10 x^{2} + x + 8 x - 2 - x^{3} - (- 2 x^{2}) - x - - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 3.2.1.4

Добавим $x$ и $8 x$ .

$\frac{3 x^{3} - 10 x^{2} + 9 x - 2 - x^{3} - (- 2 x^{2}) - x - - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 3.2.1.5

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{3 x^{3} - 10 x^{2} + 9 x - 2 - x^{3} + 2 x^{2} - x - - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 3.2.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{3 x^{3} - 10 x^{2} + 9 x - 2 - x^{3} + 2 x^{2} - x + 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 3.2.2

Вычтем $x^{3}$ из $3 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{3} - 10 x^{2} + 9 x - 2 + 2 x^{2} - x + 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 3.2.3

Добавим $- 10 x^{2}$ и $2 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} - 8 x^{2} + 9 x - 2 - x + 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 3.2.4

Вычтем $x$ из $9 x$ .

$\frac{2 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x - 2 + 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 3.2.5

Добавим $- 2$ и $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x - 1}{{(x - 2)}^{2}}$