Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{2} 2 x (1 + x^{2}) d x$

Этап 1

Пусть $u = 1 + x^{2}$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2 x} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 1 + x^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $1 + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Этап 1.1.5

Добавим $0$ и $2 x$ .

$2 x$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 + x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 + 1^{2}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$u_{lower} = 1 + 1$

Этап 1.3.2

Добавим $1$ и $1$ .

$u_{lower} = 2$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 + x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 + 2^{2}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$u_{upper} = 1 + 4$

Этап 1.5.2

Добавим $1$ и $4$ .

$u_{upper} = 5$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 5$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{2}^{5} u d u$

Этап 2

По правилу степени интеграл $u$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{2}^{5}$

Этап 3

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение $\frac{1}{2} u^{2}$ в $5$ и в $2$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 5^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 2^{2}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 25 - \frac{1}{2} \cdot 2^{2}$

Этап 3.2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $25$ .

$\frac{25}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{2}$

Этап 3.2.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{25}{2} - \frac{1}{2} \cdot 4$

Этап 3.2.4

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{25}{2} - 4 (\frac{1}{2})$

Этап 3.2.5

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{25}{2} + \frac{- 4}{2}$

Этап 3.2.6

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$\frac{25}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2}$

Этап 3.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{25}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Этап 3.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{25}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Этап 3.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{25}{2} + \frac{- 2}{1}$

Этап 3.2.6.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$\frac{25}{2} - 2$

Этап 3.2.7

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{25}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 3.2.8

Объединим $- 2$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{25}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}$

Этап 3.2.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{25 - 2 \cdot 2}{2}$

Этап 3.2.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.10.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\frac{25 - 4}{2}$

Этап 3.2.10.2

Вычтем $4$ из $25$ .

$\frac{21}{2}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{21}{2}$

Десятичная форма:

$10.5$

Форма смешанных чисел:

$10 \frac{1}{2}$

Этап 5