Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 3} \frac{2 x^{2} - 5 x - 12}{6 - x - x^{2}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} 2 x^{2} - 5 x - 12}{lim_{x \to 3} 6 - x - x^{2}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} 2 x^{2} - lim_{x \to 3} 5 x - lim_{x \to 3} 12}{lim_{x \to 3} 6 - x - x^{2}}$

Этап 3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 5 x - lim_{x \to 3} 12}{lim_{x \to 3} 6 - x - x^{2}}$

Этап 4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{2 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 5 x - lim_{x \to 3} 12}{lim_{x \to 3} 6 - x - x^{2}}$

Этап 5

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 12}{lim_{x \to 3} 6 - x - x^{2}}$

Этап 6

Найдем предел $12$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 3} 6 - x - x^{2}}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 3} 6 - lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} x^{2}}$

Этап 8

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 12}{6 - lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} x^{2}}$

Этап 9

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{2 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 12}{6 - lim_{x \to 3} x - {(lim_{x \to 3} x)}^{2}}$

Этап 10

Найдем значения пределов, подставив значение $3$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{2 \cdot 3^{2} - 5 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 12}{6 - lim_{x \to 3} x - {(lim_{x \to 3} x)}^{2}}$

Этап 10.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{2 \cdot 3^{2} - 5 \cdot 3 - 1 \cdot 12}{6 - lim_{x \to 3} x - {(lim_{x \to 3} x)}^{2}}$

Этап 10.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{2 \cdot 3^{2} - 5 \cdot 3 - 1 \cdot 12}{6 - 3 - {(lim_{x \to 3} x)}^{2}}$

Этап 10.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{2 \cdot 3^{2} - 5 \cdot 3 - 1 \cdot 12}{6 - 3 - 3^{2}}$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{2 \cdot 9 - 5 \cdot 3 - 1 \cdot 12}{6 - 3 - 3^{2}}$

Этап 11.1.2

Умножим $2$ на $9$ .

$\frac{18 - 5 \cdot 3 - 1 \cdot 12}{6 - 3 - 3^{2}}$

Этап 11.1.3

Умножим $- 5$ на $3$ .

$\frac{18 - 15 - 1 \cdot 12}{6 - 3 - 3^{2}}$

Этап 11.1.4

Умножим $- 1$ на $12$ .

$\frac{18 - 15 - 12}{6 - 3 - 3^{2}}$

Этап 11.1.5

Вычтем $15$ из $18$ .

$\frac{3 - 12}{6 - 3 - 3^{2}}$

Этап 11.1.6

Вычтем $12$ из $3$ .

$\frac{- 9}{6 - 3 - 3^{2}}$

Этап 11.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{- 9}{6 - 3 - 1 \cdot 9}$

Этап 11.2.2

Умножим $- 1$ на $9$ .

$\frac{- 9}{6 - 3 - 9}$

Этап 11.2.3

Вычтем $3$ из $6$ .

$\frac{- 9}{3 - 9}$

Этап 11.2.4

Вычтем $9$ из $3$ .

$\frac{- 9}{- 6}$

Этап 11.3

Сократим общий множитель $- 9$ и $- 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Вынесем множитель $- 3$ из $- 9$ .

$\frac{- 3 (3)}{- 6}$

Этап 11.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.1

Вынесем множитель $- 3$ из $- 6$ .

$\frac{- 3 \cdot 3}{- 3 \cdot 2}$

Этап 11.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 \cdot 3}{- 3 \cdot 2}$

Этап 11.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{2}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{3}{2}$

Десятичная форма:

$1.5$