Математический анализ Примеры

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ в виде ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}]$

Этап 1.2

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} \cdot - 1}]$

Этап 1.2.2

Умножим $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Объединим $\frac{3}{2}$ и $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}}]$

Этап 1.2.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{- 3}{2}}]$

Этап 1.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{- \frac{3}{2}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- \frac{3}{2}}$ и $g (x) = x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - \frac{3}{2}$ .

$- \frac{3}{2} u^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 1$ .

$- \frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- \frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 6.2

Вычтем $2$ из $- 3$ .

$- \frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 5}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 7.2

Объединим ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}}$ и $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 7.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Перенесем $3$ влево от ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}}$ .

$- \frac{3 \cdot {(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 7.3.2

Перенесем ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 8

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \frac{3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- \frac{3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 10

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \frac{3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} (2 x + 0)$

Этап 11

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$- \frac{3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} (2 x)$

Этап 11.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \frac{3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} x$

Этап 11.3

Объединим $- 2$ и $\frac{3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} x$

Этап 11.4

Умножим $- 2$ на $3$ .

$\frac{- 6}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} x$

Этап 11.5

Объединим $\frac{- 6}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$ и $x$ .

$\frac{- 6 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 11.6

Вынесем множитель $2$ из $- 6 x$ .

$\frac{2 (- 3 x)}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 12

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2 (- 3 x)}{2 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}})}$

Этап 12.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- 3 x)}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 12.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 3 x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3 x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$