Математический анализ Примеры

$y = - 5 {(2 x + 3)}^{3}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (- 5 {(2 x + 3)}^{3})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 {(2 x + 3)}^{3}$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{3}]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{3}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = 2 x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x + 3$ .

$- 5 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- 5 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x + 3$ .

$- 5 (3 {(2 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $3$ на $- 5$ .

$- 15 ({(2 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

Этап 3.3.2

По правилу суммы производная $2 x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$- 15 {(2 x + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 3.3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 15 {(2 x + 3)}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 15 {(2 x + 3)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 3.3.5

Умножим $2$ на $1$ .

$- 15 {(2 x + 3)}^{2} (2 + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 3.3.6

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 15 {(2 x + 3)}^{2} (2 + 0)$

Этап 3.3.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.7.1

Добавим $2$ и $0$ .

$- 15 {(2 x + 3)}^{2} \cdot 2$

Этап 3.3.7.2

Умножим $2$ на $- 15$ .

$- 30 {(2 x + 3)}^{2}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = - 30 {(2 x + 3)}^{2}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 30 {(2 x + 3)}^{2}$