Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{\tan^{2} (2 x)}{x \sin (3 x)}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} \tan^{2} (2 x)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Вынесем степень $2$ в выражении $\tan^{2} (2 x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 0} \tan (2 x))}^{2}}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

Этап 1.1.2.1.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$\frac{\tan^{2} (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

Этап 1.1.2.1.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\tan^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\tan^{2} (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{\tan^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

Этап 1.1.2.3.2

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

Этап 1.1.2.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Этап 1.1.3.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} 3 x)}$

Этап 1.1.3.3

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 1.1.3.4

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 1.1.3.4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

Этап 1.1.3.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sin (0)}$

Этап 1.1.3.5.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Этап 1.1.3.5.3

Умножим $0$ на $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.5.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.6

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan^{2} (2 x)}{x \sin (3 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \tan (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\tan (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Этап 1.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 u_{1} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Этап 1.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\tan (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Этап 1.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Этап 1.3.3.2

Производная $\tan (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\sec^{2} (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (2 x) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Этап 1.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (2 x) \sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Этап 1.3.5

Умножим $2$ на $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \tan (2 x) \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Этап 1.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \tan (2 x) \sec^{2} (2 x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Этап 1.3.7

Умножим $4$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \tan (2 x) \sec^{2} (2 x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Этап 1.3.8

Изменим порядок множителей в $4 \tan (2 x) \sec^{2} (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

Этап 1.3.9

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \sin (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)}{x \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.10

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.10.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)}{x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.10.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)}{x (\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x]) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.10.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)}{x (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.11

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)}{x (\cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)}{x (\cos (3 x) (3 \cdot 1)) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.13

Умножим $3$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)}{x (\cos (3 x) \cdot 3) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.14

Перенесем $3$ влево от $\cos (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)}{x (3 \cdot \cos (3 x)) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.15

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)}{x (3 \cos (3 x)) + \sin (3 x) \cdot 1}$

Этап 1.3.16

Умножим $\sin (3 x)$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)}{x (3 \cos (3 x)) + \sin (3 x)}$

Этап 1.3.17

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)}{3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Этап 2

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (2 x) \tan (2 x)}{3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Этап 3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$4 \frac{lim_{x \to 0} \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Этап 3.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$4 \frac{lim_{x \to 0} \sec^{2} (2 x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (2 x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Этап 3.1.2.2

Вынесем степень $2$ в выражении $\sec^{2} (2 x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$4 \frac{{(lim_{x \to 0} \sec (2 x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \tan (2 x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Этап 3.1.2.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$4 \frac{\sec^{2} (lim_{x \to 0} 2 x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (2 x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Этап 3.1.2.4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$4 \frac{\sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (2 x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Этап 3.1.2.5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$4 \frac{\sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Этап 3.1.2.6

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$4 \frac{\sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Этап 3.1.2.7

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$4 \frac{\sec^{2} (2 \cdot 0) \cdot \tan (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Этап 3.1.2.7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$4 \frac{\sec^{2} (2 \cdot 0) \cdot \tan (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Этап 3.1.2.8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.8.1

Умножим $2$ на $0$ .

$4 \frac{\sec^{2} (0) \cdot \tan (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Этап 3.1.2.8.2

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$4 \frac{1^{2} \cdot \tan (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Этап 3.1.2.8.3

Единица в любой степени равна единице.

$4 \frac{1 \cdot \tan (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Этап 3.1.2.8.4

Умножим $\tan (2 \cdot 0)$ на $1$ .

$4 \frac{\tan (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Этап 3.1.2.8.5

Умножим $2$ на $0$ .

$4 \frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Этап 3.1.2.8.6

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$4 \frac{0}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

Этап 3.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$4 \frac{0}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Этап 3.1.3.2

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$4 \frac{0}{3 lim_{x \to 0} x \cos (3 x) + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Этап 3.1.3.3

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$4 \frac{0}{3 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (3 x) + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Этап 3.1.3.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$4 \frac{0}{3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} 3 x) + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Этап 3.1.3.5

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$4 \frac{0}{3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Этап 3.1.3.6

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$4 \frac{0}{3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} 3 x)}$

Этап 3.1.3.7

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$4 \frac{0}{3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) + \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 3.1.3.8

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.8.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$4 \frac{0}{3 \cdot 0 \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) + \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 3.1.3.8.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$4 \frac{0}{3 \cdot 0 \cdot \cos (3 \cdot 0) + \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 3.1.3.8.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$4 \frac{0}{3 \cdot 0 \cdot \cos (3 \cdot 0) + \sin (3 \cdot 0)}$

Этап 3.1.3.9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.9.1.1

Умножим $3$ на $0$ .

$4 \frac{0}{0 \cdot \cos (3 \cdot 0) + \sin (3 \cdot 0)}$

Этап 3.1.3.9.1.2

Умножим $3$ на $0$ .

$4 \frac{0}{0 \cdot \cos (0) + \sin (3 \cdot 0)}$

Этап 3.1.3.9.1.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$4 \frac{0}{0 \cdot 1 + \sin (3 \cdot 0)}$

Этап 3.1.3.9.1.4

Умножим $0$ на $1$ .

$4 \frac{0}{0 + \sin (3 \cdot 0)}$

Этап 3.1.3.9.1.5

Умножим $3$ на $0$ .

$4 \frac{0}{0 + \sin (0)}$

Этап 3.1.3.9.1.6

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$4 \frac{0}{0 + 0}$

Этап 3.1.3.9.2

Добавим $0$ и $0$ .

$4 (\frac{0}{0})$

Этап 3.1.3.9.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$4 (\frac{0}{0})$

Этап 3.1.3.10

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$4 (\frac{0}{0})$

Этап 3.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$4 (\frac{0}{0})$

Этап 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (2 x) \tan (2 x)}{3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x) \tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Этап 3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x) \tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Этап 3.3.2

$4 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Этап 3.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 x$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Этап 3.3.3.2

Производная $\tan (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\sec^{2} (u_{1})$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (2 x) \sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Этап 3.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Этап 3.3.4

Умножим $\sec^{2} (2 x)$ на $\sec^{2} (2 x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 lim_{x \to 0} \frac{{\sec (2 x)}^{2 + 2} \frac{d}{d x} [2 x] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Этап 3.3.4.2

Добавим $2$ и $2$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{4} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Этап 3.3.5

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{4} (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Этап 3.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{4} (2 x) \cdot 2 \cdot 1 + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Этап 3.3.7

Умножим $2$ на $1$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{4} (2 x) \cdot 2 + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Этап 3.3.8

Перенесем $2$ влево от $\sec^{4} (2 x)$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \sec^{4} (2 x) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Этап 3.3.9

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.9.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\sec (2 x)$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + \tan (2 x) \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Этап 3.3.9.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + \tan (2 x) \cdot 2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Этап 3.3.9.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\sec (2 x)$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + \tan (2 x) \cdot 2 \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Этап 3.3.10

Перенесем $2$ влево от $\tan (2 x)$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + 2 \cdot \tan (2 x) \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Этап 3.3.11

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.11.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $2 x$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan (2 x) \sec (2 x) \frac{d}{d u_{3}} [\sec (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Этап 3.3.11.2

Производная $\sec (u_{3})$ по $u_{3}$ равна $\sec (u_{3}) \tan (u_{3})$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan (2 x) \sec (2 x) \sec (u_{3}) \tan (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Этап 3.3.11.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $2 x$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan (2 x) \sec (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Этап 3.3.12

Возведем $\tan (2 x)$ в степень $1$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan^{1} (2 x) \tan (2 x) \sec (2 x) \sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Этап 3.3.13

Возведем $\tan (2 x)$ в степень $1$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan^{1} (2 x) \tan^{1} (2 x) \sec (2 x) \sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Этап 3.3.14

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + 2 {\tan (2 x)}^{1 + 1} \sec (2 x) \sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Этап 3.3.15

Добавим $1$ и $1$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) \sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Этап 3.3.16

Возведем $\sec (2 x)$ в степень $1$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) \sec^{1} (2 x) \sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Этап 3.3.17

Возведем $\sec (2 x)$ в степень $1$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) \sec^{1} (2 x) \sec^{1} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Этап 3.3.18

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) {\sec (2 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Этап 3.3.19

Добавим $1$ и $1$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Этап 3.3.20

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Этап 3.3.21

Умножим $2$ на $2$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + 4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Этап 3.3.22

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + 4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Этап 3.3.23

Умножим $4$ на $1$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + 4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Этап 3.3.24

Изменим порядок членов.

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

Этап 3.3.25

По правилу суммы производная $3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Этап 3.3.26

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.26.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x \cos (3 x)$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x \cos (3 x)]$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 \frac{d}{d x} [x \cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Этап 3.3.26.2

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 (x \frac{d}{d x} [\cos (3 x)] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Этап 3.3.26.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.26.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $3 x$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 (x \frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Этап 3.3.26.3.2

Производная $\cos (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \sin (u_{1})$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 (x \cdot - 1 \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Этап 3.3.26.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $3 x$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 (x \cdot - 1 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Этап 3.3.26.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 (x \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Этап 3.3.26.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 (x \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Этап 3.3.26.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 (x \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \cos (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Этап 3.3.26.7

Умножим $3$ на $1$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 (x \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 + \cos (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Этап 3.3.26.8

Умножим $3$ на $- 1$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Этап 3.3.26.9

Умножим $\cos (3 x)$ на $1$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x)) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Этап 3.3.27

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.27.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.27.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $3 x$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x)) + \frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x]}$

Этап 3.3.27.1.2

Производная $\sin (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\cos (u_{2})$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x)) + \cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Этап 3.3.27.1.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $3 x$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x)) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Этап 3.3.27.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x)) + \cos (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.27.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x)) + \cos (3 x) \cdot 3 \cdot 1}$

Этап 3.3.27.4

Умножим $3$ на $1$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x)) + \cos (3 x) \cdot 3}$

Этап 3.3.27.5

Перенесем $3$ влево от $\cos (3 x)$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x)) + 3 \cos (3 x)}$

Этап 3.3.28

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.28.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 x \cdot - 3 \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) + 3 \cos (3 x)}$

Этап 3.3.28.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.28.2.1

Умножим $- 3$ на $3$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{- 9 x \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) + 3 \cos (3 x)}$

Этап 3.3.28.2.2

Добавим $3 \cos (3 x)$ и $3 \cos (3 x)$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{- 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$4 \frac{lim_{x \to 0} 4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Этап 4.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$4 \frac{lim_{x \to 0} 4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + lim_{x \to 0} 2 \sec^{4} (2 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Этап 4.3

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$4 \frac{4 lim_{x \to 0} \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + lim_{x \to 0} 2 \sec^{4} (2 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Этап 4.4

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$4 \frac{4 lim_{x \to 0} \sec^{2} (2 x) \cdot lim_{x \to 0} \tan^{2} (2 x) + lim_{x \to 0} 2 \sec^{4} (2 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Этап 4.5

Вынесем степень $2$ в выражении $\sec^{2} (2 x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$4 \frac{4 {(lim_{x \to 0} \sec (2 x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \tan^{2} (2 x) + lim_{x \to 0} 2 \sec^{4} (2 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Этап 4.6

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$4 \frac{4 \sec^{2} (lim_{x \to 0} 2 x) \cdot lim_{x \to 0} \tan^{2} (2 x) + lim_{x \to 0} 2 \sec^{4} (2 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Этап 4.7

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \tan^{2} (2 x) + lim_{x \to 0} 2 \sec^{4} (2 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Этап 4.8

Вынесем степень $2$ в выражении $\tan^{2} (2 x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot {(lim_{x \to 0} \tan (2 x))}^{2} + lim_{x \to 0} 2 \sec^{4} (2 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Этап 4.9

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (lim_{x \to 0} 2 x) + lim_{x \to 0} 2 \sec^{4} (2 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Этап 4.10

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2 \sec^{4} (2 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Этап 4.11

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} \sec^{4} (2 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Этап 4.12

Вынесем степень $4$ в выражении $\sec^{4} (2 x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2 {(lim_{x \to 0} \sec (2 x))}^{4}}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Этап 4.13

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \sec^{4} (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Этап 4.14

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \sec^{4} (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

Этап 4.15

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \sec^{4} (2 lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} 9 x \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (3 x)}$

Этап 4.16

Вынесем член $9$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \sec^{4} (2 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (3 x)}$

Этап 4.17

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \sec^{4} (2 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (3 x)}$

Этап 4.18

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \sec^{4} (2 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} 3 x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (3 x)}$

Этап 4.19

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \sec^{4} (2 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (3 x)}$

Этап 4.20

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \sec^{4} (2 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 lim_{x \to 0} \cos (3 x)}$

Этап 4.21

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \sec^{4} (2 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (lim_{x \to 0} 3 x)}$

Этап 4.22

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \sec^{4} (2 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 5

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 \cdot 0) \cdot \tan^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \sec^{4} (2 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 \cdot 0) \cdot \tan^{2} (2 \cdot 0) + 2 \sec^{4} (2 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 5.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 \cdot 0) \cdot \tan^{2} (2 \cdot 0) + 2 \sec^{4} (2 \cdot 0)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 5.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 \cdot 0) \cdot \tan^{2} (2 \cdot 0) + 2 \sec^{4} (2 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 5.5

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 \cdot 0) \cdot \tan^{2} (2 \cdot 0) + 2 \sec^{4} (2 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 5.6

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 \cdot 0) \cdot \tan^{2} (2 \cdot 0) + 2 \sec^{4} (2 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$4 \frac{4 \sec^{2} (0) \cdot \tan^{2} (2 \cdot 0) + 2 \sec^{4} (2 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Этап 6.1.2

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$4 \frac{4 \cdot 1^{2} \cdot \tan^{2} (2 \cdot 0) + 2 \sec^{4} (2 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Этап 6.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$4 \frac{4 \cdot 1 \cdot \tan^{2} (2 \cdot 0) + 2 \sec^{4} (2 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Этап 6.1.4

Умножим $4$ на $1$ .

$4 \frac{4 \cdot \tan^{2} (2 \cdot 0) + 2 \sec^{4} (2 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Этап 6.1.5

Умножим $2$ на $0$ .

$4 \frac{4 \cdot \tan^{2} (0) + 2 \sec^{4} (2 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Этап 6.1.6

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$4 \frac{4 \cdot 0^{2} + 2 \sec^{4} (2 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Этап 6.1.7

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$4 \frac{4 \cdot 0 + 2 \sec^{4} (2 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Этап 6.1.8

Умножим $4$ на $0$ .

$4 \frac{0 + 2 \sec^{4} (2 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Этап 6.1.9

Умножим $2$ на $0$ .

$4 \frac{0 + 2 \sec^{4} (0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Этап 6.1.10

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$4 \frac{0 + 2 \cdot 1^{4}}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Этап 6.1.11

Единица в любой степени равна единице.

$4 \frac{0 + 2 \cdot 1}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Этап 6.1.12

Умножим $2$ на $1$ .

$4 \frac{0 + 2}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Этап 6.1.13

Добавим $0$ и $2$ .

$4 \frac{2}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Этап 6.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $- 9$ на $0$ .

$4 \frac{2}{0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Этап 6.2.2

Умножим $3$ на $0$ .

$4 \frac{2}{0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Этап 6.2.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$4 \frac{2}{0 \cdot 0 + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Этап 6.2.4

Умножим $0$ на $0$ .

$4 \frac{2}{0 + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

Этап 6.2.5

Умножим $3$ на $0$ .

$4 \frac{2}{0 + 6 \cos (0)}$

Этап 6.2.6

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$4 \frac{2}{0 + 6 \cdot 1}$

Этап 6.2.7

Умножим $6$ на $1$ .

$4 \frac{2}{0 + 6}$

Этап 6.2.8

Добавим $0$ и $6$ .

$4 (\frac{2}{6})$

Этап 6.3

Сократим общий множитель $2$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$4 \frac{2 (1)}{6}$

Этап 6.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$4 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Этап 6.3.2.2

Сократим общий множитель.

$4 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Этап 6.3.2.3

Перепишем это выражение.

$4 (\frac{1}{3})$

Этап 6.4

Объединим $4$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{4}{3}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{4}{3}$

Десятичная форма:

$1.\overline{3}$