Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\ln (2)} x e^{- x} d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{- x}$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} - \int_{0}^{\ln (2)} - e^{- x} d x$

Этап 2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} - - \int_{0}^{\ln (2)} e^{- x} d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} + 1 \int_{0}^{\ln (2)} e^{- x} d x$

Этап 3.2

Умножим $\int_{0}^{\ln (2)} e^{- x} d x$ на $1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} + \int_{0}^{\ln (2)} e^{- x} d x$

Этап 4

Пусть $u = - x$ . Тогда $d u = - d x$ , следовательно $- d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = - x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Этап 4.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 4.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 4.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

Этап 4.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 4.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = - x$ .

$u_{upper} = - \ln (2)$

Этап 4.5

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - \ln (2)$

Этап 4.6

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} + \int_{0}^{- \ln (2)} - e^{u} d u$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} - \int_{0}^{- \ln (2)} e^{u} d u$

Этап 6

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} - (e^{u}]_{0}^{- \ln (2)})$

Этап 7

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $x (- e^{- x})$ в $\ln (2)$ и в $0$ .

$(\ln (2) (- e^{- \ln (2)})) + 0 (- e^{- 0}) - (e^{u}]_{0}^{- \ln (2)})$

Этап 7.2

Найдем значение $e^{u}$ в $- \ln (2)$ и в $0$ .

$(\ln (2) (- e^{- \ln (2)})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) + 0 (- e^{0}) - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

Этап 7.3.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) + 0 (- 1 \cdot 1) - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

Этап 7.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) + 0 \cdot - 1 - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

Этап 7.3.4

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) + 0 - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

Этап 7.3.5

Добавим $\ln (2) (- e^{- \ln (2)})$ и $0$ .

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

Этап 7.3.6

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) - (e^{- \ln (2)} - 1 \cdot 1)$

Этап 7.3.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) - (e^{- \ln (2)} - 1)$

Этап 8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим $- \ln (2)$ путем переноса $- 1$ под логарифм.

$\ln (2) (- e^{\ln (2^{- 1})}) - (e^{- \ln (2)} - 1)$

Этап 8.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$\ln (2) (- 2^{- 1}) - (e^{- \ln (2)} - 1)$

Этап 8.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (2) (- \frac{1}{2}) - (e^{- \ln (2)} - 1)$

Этап 8.4

Объединим $\ln (2)$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} - (e^{- \ln (2)} - 1)$

Этап 8.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Упростим $- \ln (2)$ путем переноса $- 1$ под логарифм.

$- \frac{\ln (2)}{2} - (e^{\ln (2^{- 1})} - 1)$

Этап 8.5.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$- \frac{\ln (2)}{2} - (2^{- 1} - 1)$

Этап 8.5.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} - (\frac{1}{2} - 1)$

Этап 8.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} - (\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})$

Этап 8.7

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} - (\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})$

Этап 8.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{\ln (2)}{2} - \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

Этап 8.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.9.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} - \frac{1 - 2}{2}$

Этап 8.9.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} - \frac{- 1}{2}$

Этап 8.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{\ln (2)}{2} - - \frac{1}{2}$

Этап 8.11

Умножим $- - \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.11.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

Этап 8.11.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$- \frac{\ln (2)}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{\ln (2)}{2} + \frac{1}{2}$

Десятичная форма:

$0.15342640 \dots$

Этап 10