Математический анализ Примеры

$- \frac{2}{\sqrt{x}}$

Этап 1

Запишем $- \frac{2}{\sqrt{x}}$ в виде функции.

$f (x) = - \frac{2}{\sqrt{x}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

Этап 5

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$- (2 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x)$

Этап 6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Этап 6.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 6.3

Вынесем $x^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- 2 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Этап 6.4

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Этап 6.4.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$- 2 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Этап 6.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 2 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем $- 2 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$ в виде $- 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$ .

$- 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 8.2

Умножим $- 2$ на $2$ .

$- 4 x^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 9

Ответ ― первообразная функции $f (x) = - \frac{2}{\sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $- 4 x^{\frac{1}{2}} + C$