Математический анализ Примеры

$y = \frac{3 x^{3} + 5}{3 + 2 x}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{3 x^{3} + 5}{3 + 2 x})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 3 x^{3} + 5$ и $g (x) = 3 + 2 x$ .

$\frac{(3 + 2 x) \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 5] - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [3 + 2 x]}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $3 x^{3} + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{(3 + 2 x) (\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]) - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [3 + 2 x]}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Этап 3.2.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{3}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{(3 + 2 x) (3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]) - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [3 + 2 x]}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Этап 3.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{(3 + 2 x) (3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [5]) - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [3 + 2 x]}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Этап 3.2.4

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{(3 + 2 x) (9 x^{2} + \frac{d}{d x} [5]) - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [3 + 2 x]}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Этап 3.2.5

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(3 + 2 x) (9 x^{2} + 0) - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [3 + 2 x]}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Этап 3.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Добавим $9 x^{2}$ и $0$ .

$\frac{(3 + 2 x) (9 x^{2}) - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [3 + 2 x]}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Этап 3.2.6.2

Перенесем $9$ влево от $3 + 2 x$ .

$\frac{9 \cdot (3 + 2 x) x^{2} - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [3 + 2 x]}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Этап 3.2.7

По правилу суммы производная $3 + 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{9 (3 + 2 x) x^{2} - (3 x^{3} + 5) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 x])}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Этап 3.2.8

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{9 (3 + 2 x) x^{2} - (3 x^{3} + 5) (0 + \frac{d}{d x} [2 x])}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Этап 3.2.9

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{9 (3 + 2 x) x^{2} - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [2 x]}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Этап 3.2.10

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{9 (3 + 2 x) x^{2} - (3 x^{3} + 5) (2 \frac{d}{d x} [x])}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Этап 3.2.11

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{9 (3 + 2 x) x^{2} - 2 (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [x]}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Этап 3.2.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{9 (3 + 2 x) x^{2} - 2 (3 x^{3} + 5) \cdot 1}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Этап 3.2.13

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{9 (3 + 2 x) x^{2} - 2 (3 x^{3} + 5)}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(9 \cdot 3 + 9 (2 x)) x^{2} - 2 (3 x^{3} + 5)}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Этап 3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{9 \cdot 3 x^{2} + 9 (2 x) x^{2} - 2 (3 x^{3} + 5)}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Этап 3.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{9 \cdot 3 x^{2} + 9 (2 x) x^{2} - 2 (3 x^{3}) - 2 \cdot 5}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Этап 3.3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1.1

Умножим $9$ на $3$ .

$\frac{27 x^{2} + 9 (2 x) x^{2} - 2 (3 x^{3}) - 2 \cdot 5}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Этап 3.3.4.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{27 x^{2} + 9 (2 (x^{2} x)) - 2 (3 x^{3}) - 2 \cdot 5}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Этап 3.3.4.1.2.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{27 x^{2} + 9 (2 (x^{2} x^{1})) - 2 (3 x^{3}) - 2 \cdot 5}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Этап 3.3.4.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{27 x^{2} + 9 (2 x^{2 + 1}) - 2 (3 x^{3}) - 2 \cdot 5}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Этап 3.3.4.1.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{27 x^{2} + 9 (2 x^{3}) - 2 (3 x^{3}) - 2 \cdot 5}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Этап 3.3.4.1.3

Умножим $2$ на $9$ .

$\frac{27 x^{2} + 18 x^{3} - 2 (3 x^{3}) - 2 \cdot 5}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Этап 3.3.4.1.4

Умножим $3$ на $- 2$ .

$\frac{27 x^{2} + 18 x^{3} - 6 x^{3} - 2 \cdot 5}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Этап 3.3.4.1.5

Умножим $- 2$ на $5$ .

$\frac{27 x^{2} + 18 x^{3} - 6 x^{3} - 10}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Этап 3.3.4.2

Вычтем $6 x^{3}$ из $18 x^{3}$ .

$\frac{27 x^{2} + 12 x^{3} - 10}{{(3 + 2 x)}^{2}}$

Этап 3.3.5

Изменим порядок членов.

$\frac{12 x^{3} + 27 x^{2} - 10}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{12 x^{3} + 27 x^{2} - 10}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{12 x^{3} + 27 x^{2} - 10}{{(2 x + 3)}^{2}}$