Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{2 x + 5} - \sqrt{x + 7}}{x - 2}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x + 5} - \sqrt{x + 7}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x + 5} - lim_{x \to 2} \sqrt{x + 7}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Этап 1.1.2.2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2} 2 x + 5} - lim_{x \to 2} \sqrt{x + 7}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Этап 1.1.2.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2} 2 x + lim_{x \to 2} 5} - lim_{x \to 2} \sqrt{x + 7}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Этап 1.1.2.4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 5} - lim_{x \to 2} \sqrt{x + 7}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Этап 1.1.2.5

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x + 5} - lim_{x \to 2} \sqrt{x + 7}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Этап 1.1.2.6

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x + 5} - \sqrt{lim_{x \to 2} x + 7}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Этап 1.1.2.7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x + 5} - \sqrt{lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 7}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Этап 1.1.2.8

Найдем предел $7$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x + 5} - \sqrt{lim_{x \to 2} x + 7}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Этап 1.1.2.9

Найдем значения пределов, подставив значение $2$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.9.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2 + 5} - \sqrt{lim_{x \to 2} x + 7}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Этап 1.1.2.9.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2 + 5} - \sqrt{2 + 7}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Этап 1.1.2.10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.10.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 5} - \sqrt{2 + 7}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Этап 1.1.2.10.1.2

Добавим $4$ и $5$ .

$\frac{\sqrt{9} - \sqrt{2 + 7}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Этап 1.1.2.10.1.3

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2}} - \sqrt{2 + 7}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Этап 1.1.2.10.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{3 - \sqrt{2 + 7}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Этап 1.1.2.10.1.5

Добавим $2$ и $7$ .

$\frac{3 - \sqrt{9}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Этап 1.1.2.10.1.6

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{3 - \sqrt{3^{2}}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Этап 1.1.2.10.1.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Этап 1.1.2.10.1.8

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{3 - 3}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Этап 1.1.2.10.2

Вычтем $3$ из $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}$

Этап 1.1.3.1.2

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $2$ из $2$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{2 x + 5} - \sqrt{x + 7}}{x - 2} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x + 5} - \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x + 5} - \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $\sqrt{2 x + 5} - \sqrt{x + 7}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x + 5}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x + 5}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x + 5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 x + 5}$ в виде ${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 2 x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 x + 5$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x + 5] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + 5] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x + 5$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + 5] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.3.3

По правилу суммы производная $2 x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.3.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.3.6

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.3.7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.3.8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.3.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.3.10.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{- 1}{2}} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.3.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.3.12

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}} (2 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.3.13

Добавим $2$ и $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.3.14

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{{(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.3.15

Объединим $\frac{{(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{{(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.3.16

Перенесем $2$ влево от ${(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{2 \cdot {(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.3.17

Перенесем ${(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{2}{2 {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.3.18

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{2}{2 {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.3.19

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 7}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 7}$ в виде ${(x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- {(x + 7)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.4.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- {(x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [{(x + 7)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d x} [{(x + 7)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.4.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x + 7$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 7])}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.4.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 7])}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.4.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x + 7$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 7])}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.4.4

По правилу суммы производная $x + 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [7]))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.4.6

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.4.7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.4.8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.4.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.4.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.4.10.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.4.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 7)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.4.12

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 7)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.4.13

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x + 7)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{{(x + 7)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.4.14

Умножим $\frac{{(x + 7)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ на $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{{(x + 7)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.4.15

Перенесем ${(x + 7)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.5

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 1.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 1.3.7

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

Этап 1.3.8

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Этап 1.4

Переведем дробные показатели степени в форму с радикалами.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перепишем ${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{2 x + 5}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{\sqrt{2 x + 5}} - \frac{1}{2 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Этап 1.4.2

Перепишем ${(x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{x + 7}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{\sqrt{2 x + 5}} - \frac{1}{2 \sqrt{x + 7}}}{1}$

Этап 1.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Чтобы записать $\frac{1}{\sqrt{2 x + 5}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 \sqrt{x + 7}}{2 \sqrt{x + 7}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{\sqrt{2 x + 5}} \cdot \frac{2 \sqrt{x + 7}}{2 \sqrt{x + 7}} - \frac{1}{2 \sqrt{x + 7}}}{1}$

Этап 1.5.2

Чтобы записать $- \frac{1}{2 \sqrt{x + 7}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sqrt{2 x + 5}}{\sqrt{2 x + 5}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{\sqrt{2 x + 5}} \cdot \frac{2 \sqrt{x + 7}}{2 \sqrt{x + 7}} - \frac{1}{2 \sqrt{x + 7}} \cdot \frac{\sqrt{2 x + 5}}{\sqrt{2 x + 5}}}{1}$

Этап 1.5.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $\sqrt{2 x + 5} \cdot 2 \sqrt{x + 7}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2 x + 5}}$ на $\frac{2 \sqrt{x + 7}}{2 \sqrt{x + 7}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{2 \sqrt{x + 7}}{\sqrt{2 x + 5} (2 \sqrt{x + 7})} - \frac{1}{2 \sqrt{x + 7}} \cdot \frac{\sqrt{2 x + 5}}{\sqrt{2 x + 5}}}{1}$

Этап 1.5.3.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{2 \sqrt{x + 7}}{2 \sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}} - \frac{1}{2 \sqrt{x + 7}} \cdot \frac{\sqrt{2 x + 5}}{\sqrt{2 x + 5}}}{1}$

Этап 1.5.3.3

Умножим $\frac{1}{2 \sqrt{x + 7}}$ на $\frac{\sqrt{2 x + 5}}{\sqrt{2 x + 5}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{2 \sqrt{x + 7}}{2 \sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}} - \frac{\sqrt{2 x + 5}}{2 \sqrt{x + 7} \sqrt{2 x + 5}}}{1}$

Этап 1.5.3.4

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{2 \sqrt{x + 7}}{2 \sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}} - \frac{\sqrt{2 x + 5}}{2 \sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}}}{1}$

Этап 1.5.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{2 \sqrt{x + 7} - \sqrt{2 x + 5}}{2 \sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}}}{1}$

Этап 1.6

Разделим $\frac{2 \sqrt{x + 7} - \sqrt{2 x + 5}}{2 \sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}}$ на $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sqrt{x + 7} - \sqrt{2 x + 5}}{2 \sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 2} \frac{2 \sqrt{x + 7} - \sqrt{2 x + 5}}{\sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 2} 2 \sqrt{x + 7} - \sqrt{2 x + 5}}{lim_{x \to 2} \sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 2} 2 \sqrt{x + 7} - lim_{x \to 2} \sqrt{2 x + 5}}{lim_{x \to 2} \sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}}$

Этап 2.4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 2} \sqrt{x + 7} - lim_{x \to 2} \sqrt{2 x + 5}}{lim_{x \to 2} \sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}}$

Этап 2.5

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 2} x + 7} - lim_{x \to 2} \sqrt{2 x + 5}}{lim_{x \to 2} \sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}}$

Этап 2.6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 7} - lim_{x \to 2} \sqrt{2 x + 5}}{lim_{x \to 2} \sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}}$

Этап 2.7

Найдем предел $7$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 2} x + 7} - lim_{x \to 2} \sqrt{2 x + 5}}{lim_{x \to 2} \sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}}$

Этап 2.8

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 2} x + 7} - \sqrt{lim_{x \to 2} 2 x + 5}}{lim_{x \to 2} \sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}}$

Этап 2.9

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 2} x + 7} - \sqrt{lim_{x \to 2} 2 x + lim_{x \to 2} 5}}{lim_{x \to 2} \sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}}$

Этап 2.10

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 2} x + 7} - \sqrt{2 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 5}}{lim_{x \to 2} \sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}}$

Этап 2.11

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 2} x + 7} - \sqrt{2 lim_{x \to 2} x + 5}}{lim_{x \to 2} \sqrt{(2 x + 5) (x + 7)}}$

Этап 2.12

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 2} x + 7} - \sqrt{2 lim_{x \to 2} x + 5}}{\sqrt{lim_{x \to 2} (2 x + 5) (x + 7)}}$

Этап 2.13

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 2} x + 7} - \sqrt{2 lim_{x \to 2} x + 5}}{\sqrt{lim_{x \to 2} 2 x + 5 \cdot lim_{x \to 2} x + 7}}$

Этап 2.14

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 2} x + 7} - \sqrt{2 lim_{x \to 2} x + 5}}{\sqrt{(lim_{x \to 2} 2 x + lim_{x \to 2} 5) \cdot lim_{x \to 2} x + 7}}$

Этап 2.15

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 2} x + 7} - \sqrt{2 lim_{x \to 2} x + 5}}{\sqrt{(2 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 5) \cdot lim_{x \to 2} x + 7}}$

Этап 2.16

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 2} x + 7} - \sqrt{2 lim_{x \to 2} x + 5}}{\sqrt{(2 lim_{x \to 2} x + 5) \cdot lim_{x \to 2} x + 7}}$

Этап 2.17

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 2} x + 7} - \sqrt{2 lim_{x \to 2} x + 5}}{\sqrt{(2 lim_{x \to 2} x + 5) \cdot (lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 7)}}$

Этап 2.18

Найдем предел $7$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 2} x + 7} - \sqrt{2 lim_{x \to 2} x + 5}}{\sqrt{(2 lim_{x \to 2} x + 5) \cdot (lim_{x \to 2} x + 7)}}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $2$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{2 + 7} - \sqrt{2 lim_{x \to 2} x + 5}}{\sqrt{(2 lim_{x \to 2} x + 5) \cdot (lim_{x \to 2} x + 7)}}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{2 + 7} - \sqrt{2 \cdot 2 + 5}}{\sqrt{(2 lim_{x \to 2} x + 5) \cdot (lim_{x \to 2} x + 7)}}$

Этап 3.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{2 + 7} - \sqrt{2 \cdot 2 + 5}}{\sqrt{(2 \cdot 2 + 5) \cdot (lim_{x \to 2} x + 7)}}$

Этап 3.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{2 + 7} - \sqrt{2 \cdot 2 + 5}}{\sqrt{(2 \cdot 2 + 5) \cdot (2 + 7)}}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Добавим $2$ и $7$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{9} - \sqrt{2 \cdot 2 + 5}}{\sqrt{(2 \cdot 2 + 5) \cdot (2 + 7)}}$

Этап 4.1.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{3^{2}} - \sqrt{2 \cdot 2 + 5}}{\sqrt{(2 \cdot 2 + 5) \cdot (2 + 7)}}$

Этап 4.1.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 3 - \sqrt{2 \cdot 2 + 5}}{\sqrt{(2 \cdot 2 + 5) \cdot (2 + 7)}}$

Этап 4.1.4

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{6 - \sqrt{2 \cdot 2 + 5}}{\sqrt{(2 \cdot 2 + 5) \cdot (2 + 7)}}$

Этап 4.1.5

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{6 - \sqrt{4 + 5}}{\sqrt{(2 \cdot 2 + 5) \cdot (2 + 7)}}$

Этап 4.1.6

Добавим $4$ и $5$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{6 - \sqrt{9}}{\sqrt{(2 \cdot 2 + 5) \cdot (2 + 7)}}$

Этап 4.1.7

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{6 - \sqrt{3^{2}}}{\sqrt{(2 \cdot 2 + 5) \cdot (2 + 7)}}$

Этап 4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{6 - 1 \cdot 3}{\sqrt{(2 \cdot 2 + 5) \cdot (2 + 7)}}$

Этап 4.1.9

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{6 - 3}{\sqrt{(2 \cdot 2 + 5) \cdot (2 + 7)}}$

Этап 4.1.10

Вычтем $3$ из $6$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{\sqrt{(2 \cdot 2 + 5) \cdot (2 + 7)}}$

Этап 4.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{\sqrt{(4 + 5) (2 + 7)}}$

Этап 4.2.2

Добавим $4$ и $5$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{\sqrt{9 (2 + 7)}}$

Этап 4.2.3

Добавим $2$ и $7$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{\sqrt{9 \cdot 9}}$

Этап 4.2.4

Умножим $9$ на $9$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{\sqrt{81}}$

Этап 4.2.5

Перепишем $81$ в виде $9^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{\sqrt{9^{2}}}$

Этап 4.2.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{9}$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $3$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 (1)}{9}$

Этап 4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

Этап 4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

Этап 4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 4.4

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 3}$

Этап 4.4.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{1}{6}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{6}$

Десятичная форма:

$0.1\overline{6}$