Математический анализ Примеры

$x^{2} y - 5 y = 12$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y - 5 y) = \frac{d}{d x} (12)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{2} y - 5 y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Этап 2.2.4

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 y$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$x^{2} y' + 2 y x - 5 \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x^{2} y' + 2 y x - 5 y'$

Этап 2.4

Изменим порядок членов.

$x^{2} y' + 2 x y - 5 y'$

Этап 3

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$x^{2} y' + 2 x y - 5 y' = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $2 x y$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} y' - 5 y' = - 2 x y$

Этап 5.2

Вынесем множитель $y'$ из $x^{2} y' - 5 y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $y'$ из $x^{2} y'$ .

$y' x^{2} - 5 y' = - 2 x y$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $y'$ из $- 5 y'$ .

$y' x^{2} + y' \cdot - 5 = - 2 x y$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' x^{2} + y' \cdot - 5$ .

$y' (x^{2} - 5) = - 2 x y$

Этап 5.3

Разделим каждый член $y' (x^{2} - 5) = - 2 x y$ на $x^{2} - 5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $y' (x^{2} - 5) = - 2 x y$ на $x^{2} - 5$ .

$\frac{y' (x^{2} - 5)}{x^{2} - 5} = \frac{- 2 x y}{x^{2} - 5}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $x^{2} - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (x^{2} - 5)}{x^{2} - 5} = \frac{- 2 x y}{x^{2} - 5}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 2 x y}{x^{2} - 5}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{2 x y}{x^{2} - 5}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y}{x^{2} - 5}$