Математический анализ Примеры

$f (x) = - \frac{5}{2} x^{2} - \frac{3}{2} x^{- 3} + 2 x^{3}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $- \frac{5}{2} x^{2} - \frac{3}{2} x^{- 3} + 2 x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{5}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{2} x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- \frac{5}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{5}{2} x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- \frac{5}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Этап 1.2.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 (\frac{5}{2}) x + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Этап 1.2.4

Объединим $- 2$ и $\frac{5}{2}$ .

$\frac{- 2 \cdot 5}{2} x + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Этап 1.2.5

Умножим $- 2$ на $5$ .

$\frac{- 10}{2} x + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Этап 1.2.6

Объединим $\frac{- 10}{2}$ и $x$ .

$\frac{- 10 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Этап 1.2.7

Сократим общий множитель $- 10$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Вынесем множитель $2$ из $- 10 x$ .

$\frac{2 (- 5 x)}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Этап 1.2.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (- 5 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Этап 1.2.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- 5 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Этап 1.2.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 5 x}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Этап 1.2.7.2.4

Разделим $- 5 x$ на $1$ .

$- 5 x + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{- 3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- \frac{3}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{3}{2} x^{- 3}$ по $x$ равна $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$- 5 x - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 3$ .

$- 5 x - \frac{3}{2} (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Этап 1.3.3

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$- 5 x + 3 (\frac{3}{2}) x^{- 4} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Этап 1.3.4

Объединим $3$ и $\frac{3}{2}$ .

$- 5 x + \frac{3 \cdot 3}{2} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Этап 1.3.5

Умножим $3$ на $3$ .

$- 5 x + \frac{9}{2} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Этап 1.3.6

Объединим $\frac{9}{2}$ и $x^{- 4}$ .

$- 5 x + \frac{9 x^{- 4}}{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Этап 1.3.7

Перенесем $x^{- 4}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 5 x + \frac{9}{2 x^{4}} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{3}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 5 x + \frac{9}{2 x^{4}} + 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- 5 x + \frac{9}{2 x^{4}} + 2 (3 x^{2})$

Этап 1.4.3

Умножим $3$ на $2$ .

$- 5 x + \frac{9}{2 x^{4}} + 6 x^{2}$

Этап 1.5

Изменим порядок членов.

$f' (x) = 6 x^{2} - 5 x + \frac{9}{2 x^{4}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $6 x^{2} - 5 x + \frac{9}{2 x^{4}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{2}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $6$ .

$12 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$12 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

Этап 2.3.3

Умножим $- 5$ на $1$ .

$12 x - 5 + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $\frac{9}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{9}{2 x^{4}}$ по $x$ равна $\frac{9}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$12 x - 5 + \frac{9}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Этап 2.4.2

Перепишем $\frac{1}{x^{4}}$ в виде ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$12 x - 5 + \frac{9}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Этап 2.4.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{4}$ .

$12 x - 5 + \frac{9}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 2.4.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$12 x - 5 + \frac{9}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 2.4.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{4}$ .

$12 x - 5 + \frac{9}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 2.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$12 x - 5 + \frac{9}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

Этап 2.4.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{4})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 x - 5 + \frac{9}{2} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

Этап 2.4.5.2

Умножим $4$ на $- 2$ .

$12 x - 5 + \frac{9}{2} (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

Этап 2.4.6

Умножим $4$ на $- 1$ .

$12 x - 5 + \frac{9}{2} (- 4 x^{- 8} x^{3})$

Этап 2.4.7

Умножим $x^{- 8}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.7.1

Перенесем $x^{3}$ .

$12 x - 5 + \frac{9}{2} (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

Этап 2.4.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$12 x - 5 + \frac{9}{2} (- 4 x^{3 - 8})$

Этап 2.4.7.3

Вычтем $8$ из $3$ .

$12 x - 5 + \frac{9}{2} (- 4 x^{- 5})$

Этап 2.4.8

Объединим $- 4$ и $\frac{9}{2}$ .

$12 x - 5 + \frac{- 4 \cdot 9}{2} x^{- 5}$

Этап 2.4.9

Умножим $- 4$ на $9$ .

$12 x - 5 + \frac{- 36}{2} x^{- 5}$

Этап 2.4.10

Объединим $\frac{- 36}{2}$ и $x^{- 5}$ .

$12 x - 5 + \frac{- 36 x^{- 5}}{2}$

Этап 2.4.11

Перенесем $x^{- 5}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 x - 5 + \frac{- 36}{2 x^{5}}$

Этап 2.4.12

Сократим общий множитель $- 36$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.12.1

Вынесем множитель $2$ из $- 36$ .

$12 x - 5 + \frac{2 \cdot - 18}{2 x^{5}}$

Этап 2.4.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.12.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{5}$ .

$12 x - 5 + \frac{2 \cdot - 18}{2 (x^{5})}$

Этап 2.4.12.2.2

Сократим общий множитель.

$12 x - 5 + \frac{2 \cdot - 18}{2 x^{5}}$

Этап 2.4.12.2.3

Перепишем это выражение.

$12 x - 5 + \frac{- 18}{x^{5}}$

Этап 2.4.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$12 x - 5 - \frac{18}{x^{5}}$

Этап 2.5

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = 12 x - \frac{18}{x^{5}} - 5$

Этап 3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $12 x - \frac{18}{x^{5}} - 5$ .

$12 x - \frac{18}{x^{5}} - 5$