Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 7 x + 6}{x^{2} + x}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to - 1} x^{2} + 7 x + 6}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} 7 x + lim_{x \to - 1} 6}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

Этап 1.1.2.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} 7 x + lim_{x \to - 1} 6}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

Этап 1.1.2.3

Вынесем член $7$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 7 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 6}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

Этап 1.1.2.4

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 1$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 7 lim_{x \to - 1} x + 6}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

Этап 1.1.2.5

Найдем значения пределов, подставив значение $- 1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} + 7 lim_{x \to - 1} x + 6}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

Этап 1.1.2.5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} + 7 \cdot - 1 + 6}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

Этап 1.1.2.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{1 + 7 \cdot - 1 + 6}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

Этап 1.1.2.6.1.2

Умножим $7$ на $- 1$ .

$\frac{1 - 7 + 6}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

Этап 1.1.2.6.2

Вычтем $7$ из $1$ .

$\frac{- 6 + 6}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

Этап 1.1.2.6.3

Добавим $- 6$ и $6$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} x}$

Этап 1.1.3.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} x}$

Этап 1.1.3.3

Найдем значения пределов, подставив значение $- 1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{0}{{(- 1)}^{2} + lim_{x \to - 1} x}$

Этап 1.1.3.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{0}{{(- 1)}^{2} - 1}$

Этап 1.1.3.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Этап 1.1.3.4.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.5

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 7 x + 6}{x^{2} + x} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 7 x + 6]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 7 x + 6]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 7 x + 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Этап 1.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Этап 1.3.4.3

Умножим $7$ на $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 7 + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Этап 1.3.5

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 7 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Этап 1.3.6

Добавим $2 x + 7$ и $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 7}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Этап 1.3.7

По правилу суммы производная $x^{2} + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 7}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 7}{2 x + \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 7}{2 x + 1}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} 2 x + 7}{lim_{x \to - 1} 2 x + 1}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} 2 x + lim_{x \to - 1} 7}{lim_{x \to - 1} 2 x + 1}$

Этап 2.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 7}{lim_{x \to - 1} 2 x + 1}$

Этап 2.4

Найдем предел $7$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 1$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 1} x + 7}{lim_{x \to - 1} 2 x + 1}$

Этап 2.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 1$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 1} x + 7}{lim_{x \to - 1} 2 x + lim_{x \to - 1} 1}$

Этап 2.6

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 1} x + 7}{2 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1}$

Этап 2.7

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 1$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 1} x + 7}{2 lim_{x \to - 1} x + 1}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $- 1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{2 \cdot - 1 + 7}{2 lim_{x \to - 1} x + 1}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{2 \cdot - 1 + 7}{2 \cdot - 1 + 1}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{- 2 + 7}{2 \cdot - 1 + 1}$

Этап 4.1.2

Добавим $- 2$ и $7$ .

$\frac{5}{2 \cdot - 1 + 1}$

Этап 4.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{5}{- 2 + 1}$

Этап 4.2.2

Добавим $- 2$ и $1$ .

$\frac{5}{- 1}$

Этап 4.3

Разделим $5$ на $- 1$ .

$- 5$