Математический анализ Примеры

$\sin (\frac{π}{2} - 6 x)$

Этап 1

Запишем $\sin (\frac{π}{2} - 6 x)$ в виде функции.

$f (x) = \sin (\frac{π}{2} - 6 x)$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \sin (\frac{π}{2} - 6 x) d x$

Этап 4

Пусть $u = \frac{π}{2} - 6 x$ . Тогда $d u = - 6 d x$ , следовательно $- \frac{1}{6} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = \frac{π}{2} - 6 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $\frac{π}{2} - 6 x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{π}{2} - 6 x]$

Этап 4.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

По правилу суммы производная $\frac{π}{2} - 6 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{π}{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{π}{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Этап 4.1.2.2

Поскольку $\frac{π}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{π}{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 6 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 6 \cdot 1$

Этап 4.1.3.3

Умножим $- 6$ на $1$ .

$0 - 6$

Этап 4.1.4

Вычтем $6$ из $0$ .

$- 6$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \sin (u) \frac{1}{- 6} d u$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int \sin (u) (- \frac{1}{6}) d u$

Этап 5.2

Объединим $\sin (u)$ и $\frac{1}{6}$ .

$\int - \frac{\sin (u)}{6} d u$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{\sin (u)}{6} d u$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{6}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{6}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{6} \int \sin (u) d u)$

Этап 8

Интеграл $\sin (u)$ по $u$ имеет вид $- \cos (u)$ .

$- \frac{1}{6} (- \cos (u) + C)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

$- \frac{1}{6} (- \cos (u)) + C$

Этап 9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{1}{6}) \cos (u) + C$

Этап 9.2.2

Умножим $\frac{1}{6}$ на $1$ .

$\frac{1}{6} \cos (u) + C$

Этап 9.2.3

Объединим $\frac{1}{6}$ и $\cos (u)$ .

$\frac{\cos (u)}{6} + C$

Этап 10

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{π}{2} - 6 x$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{2} - 6 x)}{6} + C$

Этап 11

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{6} \cos (\frac{π}{2} - 6 x) + C$

Этап 12

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \sin (\frac{π}{2} - 6 x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{6} \cos (\frac{π}{2} - 6 x) + C$