Математический анализ Примеры

$\int (- 2 x^{3} + 4 + 2 x^{- 3}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int - 2 x^{3} + 4 + 2 x^{- 3} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int - 2 x^{3} d x + \int 4 d x + \int 2 x^{- 3} d x$

Этап 3

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$- 2 \int x^{3} d x + \int 4 d x + \int 2 x^{- 3} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 4 d x + \int 2 x^{- 3} d x$

Этап 5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 4 x + C + \int 2 x^{- 3} d x$

Этап 6

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$- 2 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 4 x + C + \int 2 x^{- 3} d x$

Этап 7

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$- 2 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 4 x + C + 2 \int x^{- 3} d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{- 3}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- 2 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 4 x + C + 2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Объединим $x^{- 2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 4 x + C + 2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

Этап 9.1.2

Перенесем $x^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 4 x + C + 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

Этап 9.2

Упростим.

$- \frac{x^{4}}{2} + 4 x + 2 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- \frac{x^{4}}{2} + 4 x - 2 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Этап 9.3.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$- \frac{x^{4}}{2} + 4 x + \frac{- 2}{2 x^{2}} + C$

Этап 9.3.3

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$- \frac{x^{4}}{2} + 4 x + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{2}} + C$

Этап 9.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2}$ .

$- \frac{x^{4}}{2} + 4 x + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{2})} + C$

Этап 9.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{x^{4}}{2} + 4 x + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{2}} + C$

Этап 9.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{x^{4}}{2} + 4 x + \frac{- 1}{x^{2}} + C$

Этап 9.3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x^{4}}{2} + 4 x - \frac{1}{x^{2}} + C$

Этап 10

Изменим порядок членов.

$- \frac{1}{2} x^{4} + 4 x - \frac{1}{x^{2}} + C$