Математический анализ Примеры

$- x y + 2 x = 1$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (- x y + 2 x) = \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- x y + 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x y$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$- \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$- (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$- (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.2.5

Умножим $y$ на $1$ .

$- (x y' + y) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (x y' + y) + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- (x y' + y) + 2 \cdot 1$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$- (x y' + y) + 2$

Этап 2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$- x y' - y + 2$

Этап 3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$- x y' - y + 2 = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Добавим $y$ к обеим частям уравнения.

$- x y' + 2 = y$

Этап 5.1.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- x y' = y - 2$

Этап 5.2

Разделим каждый член $- x y' = y - 2$ на $- x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $- x y' = y - 2$ на $- x$ .

$\frac{- x y'}{- x} = \frac{y}{- x} + \frac{- 2}{- x}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x y'}{x} = \frac{y}{- x} + \frac{- 2}{- x}$

Этап 5.2.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y'}{x} = \frac{y}{- x} + \frac{- 2}{- x}$

Этап 5.2.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{y}{- x} + \frac{- 2}{- x}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{- 2}{- x}$

Этап 5.2.3.1.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{2}{x}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x} + \frac{2}{x}$