Математический анализ Примеры

$y = - x^{4} + 9 x^{2} - 20$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $- x^{4} + 9 x^{2} - 20$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{4}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]$

Этап 1.2.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x^{2}$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 x^{3} + 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 4 x^{3} + 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 20]$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $9$ .

$- 4 x^{3} + 18 x + \frac{d}{d x} [- 20]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 20$ является константой относительно $x$ , производная $- 20$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 4 x^{3} + 18 x + 0$

Этап 1.4.2

Добавим $- 4 x^{3} + 18 x$ и $0$ .

$- 4 x^{3} + 18 x$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 4 x^{3} + 18 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{3}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (18 x)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x)$

Этап 2.2.3

Умножим $3$ на $- 4$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (18 x)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [18 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $18$ является константой относительно $x$ , производная $18 x$ по $x$ равна $18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 18 \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 18 \cdot 1$

Этап 2.3.3

Умножим $18$ на $1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 18$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 4 x^{3} + 18 x = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $- x^{4} + 9 x^{2} - 20$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{4}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x^{2}$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 x^{3} + 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 4 x^{3} + 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 20]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $2$ на $9$ .

$- 4 x^{3} + 18 x + \frac{d}{d x} [- 20]$

Этап 4.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $- 20$ является константой относительно $x$ , производная $- 20$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 4 x^{3} + 18 x + 0$

Этап 4.1.4.2

Добавим $- 4 x^{3} + 18 x$ и $0$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 18 x$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 4 x^{3} + 18 x$ .

$- 4 x^{3} + 18 x$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 4 x^{3} + 18 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 4 x^{3} + 18 x = 0$

Этап 5.2

Вынесем множитель $- 2 x$ из $- 4 x^{3} + 18 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $- 2 x$ из $- 4 x^{3}$ .

$- 2 x (2 x^{2}) + 18 x = 0$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $- 2 x$ из $18 x$ .

$- 2 x (2 x^{2}) - 2 x \cdot - 9 = 0$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $- 2 x$ из $- 2 x (2 x^{2}) - 2 x (- 9)$ .

$- 2 x (2 x^{2} - 9) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$2 x^{2} - 9 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 5.5

Приравняем $2 x^{2} - 9$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $2 x^{2} - 9$ к $0$ .

$2 x^{2} - 9 = 0$

Этап 5.5.2

Решим $2 x^{2} - 9 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$2 x^{2} = 9$

Этап 5.5.2.2

Разделим каждый член $2 x^{2} = 9$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Разделим каждый член $2 x^{2} = 9$ на $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{9}{2}$

Этап 5.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{9}{2}$

Этап 5.5.2.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{9}{2}$

Этап 5.5.2.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{\frac{9}{2}}$

Этап 5.5.2.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{9}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.4.1

Перепишем $\sqrt{\frac{9}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}}$

Этап 5.5.2.4.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.4.2.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3^{2}}}{\sqrt{2}}$

Этап 5.5.2.4.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm \frac{3}{\sqrt{2}}$

Этап 5.5.2.4.3

Умножим $\frac{3}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 5.5.2.4.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.4.4.1

Умножим $\frac{3}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 5.5.2.4.4.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 5.5.2.4.4.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 5.5.2.4.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 5.5.2.4.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 5.5.2.4.4.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.4.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.5.2.4.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.5.2.4.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.5.2.4.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.4.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.5.2.4.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 5.5.2.4.4.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Этап 5.5.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Этап 5.5.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Этап 5.5.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{3 \sqrt{2}}{2}, - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Этап 5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 2 x (2 x^{2} - 9) = 0$ верно.

$x = 0, \frac{3 \sqrt{2}}{2}, - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0, \frac{3 \sqrt{2}}{2}, - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 12 {(0)}^{2} + 18$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- 12 \cdot 0 + 18$

Этап 9.1.2

Умножим $- 12$ на $0$ .

$0 + 18$

Этап 9.2

Добавим $0$ и $18$ .

$18$

Этап 10

$x = 0$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = - {(0)}^{4} + 9 {(0)}^{2} - 20$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = - 0 + 9 {(0)}^{2} - 20$

Этап 11.2.1.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 9 {(0)}^{2} - 20$

Этап 11.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 + 9 \cdot 0 - 20$

Этап 11.2.1.4

Умножим $9$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 20$

Этап 11.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0 - 20$

Этап 11.2.2.2

Вычтем $20$ из $0$ .

$f (0) = - 20$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $- 20$ .

$y = - 20$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 12 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 18$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.1

Применим правило умножения к $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

$- 12 \frac{{(3 \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}} + 18$

Этап 13.1.1.2

Применим правило умножения к $3 \sqrt{2}$ .

$- 12 \frac{3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 18$

Этап 13.1.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.2.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$- 12 \frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 18$

Этап 13.1.2.2

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.2.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 12 \frac{9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 18$

Этап 13.1.2.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 12 \frac{9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 18$

Этап 13.1.2.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- 12 \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 18$

Этап 13.1.2.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.2.2.4.1

Сократим общий множитель.

$- 12 \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 18$

Этап 13.1.2.2.4.2

Перепишем это выражение.

$- 12 \frac{9 \cdot 2^{1}}{2^{2}} + 18$

Этап 13.1.2.2.5

Найдем экспоненту.

$- 12 \frac{9 \cdot 2}{2^{2}} + 18$

Этап 13.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- 12 \frac{9 \cdot 2}{4} + 18$

Этап 13.1.4

Умножим $9$ на $2$ .

$- 12 (\frac{18}{4}) + 18$

Этап 13.1.5

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.5.1

Вынесем множитель $4$ из $- 12$ .

$4 (- 3) \frac{18}{4} + 18$

Этап 13.1.5.2

Сократим общий множитель.

$4 \cdot - 3 \frac{18}{4} + 18$

Этап 13.1.5.3

Перепишем это выражение.

$- 3 \cdot 18 + 18$

Этап 13.1.6

Умножим $- 3$ на $18$ .

$- 54 + 18$

Этап 13.2

Добавим $- 54$ и $18$ .

$- 36$

Этап 14

$x = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{4} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1.1

Применим правило умножения к $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{{(3 \sqrt{2})}^{4}}{2^{4}} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Этап 15.2.1.1.2

Применим правило умножения к $3 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{3^{4} {\sqrt{2}}^{4}}{2^{4}} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Этап 15.2.1.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.2.1

Возведем $3$ в степень $4$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 {\sqrt{2}}^{4}}{2^{4}} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Этап 15.2.1.2.2

Перепишем ${\sqrt{2}}^{4}$ в виде $2^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.2.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 {(2^{\frac{1}{2}})}^{4}}{2^{4}} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Этап 15.2.1.2.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{2^{4}} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Этап 15.2.1.2.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 2^{\frac{4}{2}}}{2^{4}} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Этап 15.2.1.2.2.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.2.2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{2^{4}} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Этап 15.2.1.2.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.2.2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{2^{4}} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Этап 15.2.1.2.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{2^{4}} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Этап 15.2.1.2.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 2^{\frac{2}{1}}}{2^{4}} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Этап 15.2.1.2.2.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 2^{2}}{2^{4}} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Этап 15.2.1.2.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 4}{2^{4}} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Этап 15.2.1.3

Возведем $2$ в степень $4$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 4}{16} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Этап 15.2.1.4

Умножим $81$ на $4$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{324}{16} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Этап 15.2.1.5

Сократим общий множитель $324$ и $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.5.1

Вынесем множитель $4$ из $324$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{4 (81)}{16} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Этап 15.2.1.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.5.2.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{4 \cdot 81}{4 \cdot 4} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Этап 15.2.1.5.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{4 \cdot 81}{4 \cdot 4} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Этап 15.2.1.5.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Этап 15.2.1.6

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.6.1

Применим правило умножения к $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{{(3 \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}}) - 20$

Этап 15.2.1.6.2

Применим правило умножения к $3 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}) - 20$

Этап 15.2.1.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.7.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}) - 20$

Этап 15.2.1.7.2

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.7.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}) - 20$

Этап 15.2.1.7.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}) - 20$

Этап 15.2.1.7.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) - 20$

Этап 15.2.1.7.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.7.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) - 20$

Этап 15.2.1.7.2.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9 \cdot 2}{2^{2}}) - 20$

Этап 15.2.1.7.2.5

Найдем экспоненту.

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9 \cdot 2}{2^{2}}) - 20$

Этап 15.2.1.8

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9 \cdot 2}{4}) - 20$

Этап 15.2.1.9

Умножим $9$ на $2$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{18}{4}) - 20$

Этап 15.2.1.10

Сократим общий множитель $18$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.10.1

Вынесем множитель $2$ из $18$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{2 (9)}{4}) - 20$

Этап 15.2.1.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.10.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}) - 20$

Этап 15.2.1.10.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}) - 20$

Этап 15.2.1.10.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9}{2}) - 20$

Этап 15.2.1.11

Умножим $9 (\frac{9}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.11.1

Объединим $9$ и $\frac{9}{2}$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + \frac{9 \cdot 9}{2} - 20$

Этап 15.2.1.11.2

Умножим $9$ на $9$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + \frac{81}{2} - 20$

Этап 15.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Умножим $\frac{81}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + \frac{81}{2} \cdot \frac{2}{2} - 20$

Этап 15.2.2.2

Умножим $\frac{81}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + \frac{81 \cdot 2}{2 \cdot 2} - 20$

Этап 15.2.2.3

Запишем $- 20$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + \frac{81 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 20}{1}$

Этап 15.2.2.4

Умножим $\frac{- 20}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + \frac{81 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 20}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 15.2.2.5

Умножим $\frac{- 20}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + \frac{81 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 20 \cdot 4}{4}$

Этап 15.2.2.6

Умножим $2$ на $2$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + \frac{81 \cdot 2}{4} + \frac{- 20 \cdot 4}{4}$

Этап 15.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = \frac{- 81 + 81 \cdot 2 - 20 \cdot 4}{4}$

Этап 15.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.4.1

Умножим $81$ на $2$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = \frac{- 81 + 162 - 20 \cdot 4}{4}$

Этап 15.2.4.2

Умножим $- 20$ на $4$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = \frac{- 81 + 162 - 80}{4}$

Этап 15.2.5

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.5.1

Добавим $- 81$ и $162$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = \frac{81 - 80}{4}$

Этап 15.2.5.2

Вычтем $80$ из $81$ .

$f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4}$

Этап 15.2.6

Окончательный ответ: $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{1}{4}$

Этап 16

Найдем вторую производную в $x = - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 12 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 18$

Этап 17

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

$- 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}) + 18$

Этап 17.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

$- 12 ({(- 1)}^{2} \frac{{(3 \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}}) + 18$

Этап 17.1.1.3

Применим правило умножения к $3 \sqrt{2}$ .

$- 12 ({(- 1)}^{2} \frac{3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}) + 18$

Этап 17.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- 12 (1 \frac{3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}) + 18$

Этап 17.1.3

Умножим $\frac{3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$- 12 \frac{3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 18$

Этап 17.1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.4.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$- 12 \frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 18$

Этап 17.1.4.2

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.4.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 12 \frac{9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 18$

Этап 17.1.4.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 12 \frac{9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 18$

Этап 17.1.4.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- 12 \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 18$

Этап 17.1.4.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.4.2.4.1

Сократим общий множитель.

$- 12 \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 18$

Этап 17.1.4.2.4.2

Перепишем это выражение.

$- 12 \frac{9 \cdot 2^{1}}{2^{2}} + 18$

Этап 17.1.4.2.5

Найдем экспоненту.

$- 12 \frac{9 \cdot 2}{2^{2}} + 18$

Этап 17.1.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- 12 \frac{9 \cdot 2}{4} + 18$

Этап 17.1.6

Умножим $9$ на $2$ .

$- 12 (\frac{18}{4}) + 18$

Этап 17.1.7

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $- 12$ .

$4 (- 3) \frac{18}{4} + 18$

Этап 17.1.7.2

Сократим общий множитель.

$4 \cdot - 3 \frac{18}{4} + 18$

Этап 17.1.7.3

Перепишем это выражение.

$- 3 \cdot 18 + 18$

Этап 17.1.8

Умножим $- 3$ на $18$ .

$- 54 + 18$

Этап 17.2

Добавим $- 54$ и $18$ .

$- 36$

Этап 18

$x = - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ — локальный максимум

Этап 19

Найдем значение y, если $x = - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{4} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Этап 19.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - ({(- 1)}^{4} {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{4}) + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Этап 19.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - ({(- 1)}^{4} (\frac{{(3 \sqrt{2})}^{4}}{2^{4}})) + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Этап 19.2.1.1.3

Применим правило умножения к $3 \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - ({(- 1)}^{4} (\frac{3^{4} {\sqrt{2}}^{4}}{2^{4}})) + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Этап 19.2.1.2

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.2.1

Перенесем ${(- 1)}^{4}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = {(- 1)}^{4} \cdot (- 1 \frac{3^{4} {\sqrt{2}}^{4}}{2^{4}}) + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Этап 19.2.1.2.2

Умножим ${(- 1)}^{4}$ на $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.2.2.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = {(- 1)}^{4} \cdot ((- 1) (\frac{3^{4} {\sqrt{2}}^{4}}{2^{4}})) + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Этап 19.2.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = {(- 1)}^{4 + 1} (\frac{3^{4} {\sqrt{2}}^{4}}{2^{4}}) + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Этап 19.2.1.2.3

Добавим $4$ и $1$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = {(- 1)}^{5} (\frac{3^{4} {\sqrt{2}}^{4}}{2^{4}}) + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Этап 19.2.1.3

Возведем $- 1$ в степень $5$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{3^{4} {\sqrt{2}}^{4}}{2^{4}} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Этап 19.2.1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.4.1

Возведем $3$ в степень $4$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 {\sqrt{2}}^{4}}{2^{4}} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Этап 19.2.1.4.2

Перепишем ${\sqrt{2}}^{4}$ в виде $2^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.4.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 {(2^{\frac{1}{2}})}^{4}}{2^{4}} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Этап 19.2.1.4.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{2^{4}} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Этап 19.2.1.4.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 2^{\frac{4}{2}}}{2^{4}} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Этап 19.2.1.4.2.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.4.2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{2^{4}} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Этап 19.2.1.4.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.4.2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{2^{4}} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Этап 19.2.1.4.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{2^{4}} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Этап 19.2.1.4.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 2^{\frac{2}{1}}}{2^{4}} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Этап 19.2.1.4.2.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 2^{2}}{2^{4}} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Этап 19.2.1.4.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 4}{2^{4}} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Этап 19.2.1.5

Возведем $2$ в степень $4$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81 \cdot 4}{16} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Этап 19.2.1.6

Умножим $81$ на $4$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{324}{16} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Этап 19.2.1.7

Сократим общий множитель $324$ и $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $324$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{4 (81)}{16} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Этап 19.2.1.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.7.2.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{4 \cdot 81}{4 \cdot 4} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Этап 19.2.1.7.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{4 \cdot 81}{4 \cdot 4} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Этап 19.2.1.7.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 {(- \frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 20$

Этап 19.2.1.8

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.8.1

Применим правило умножения к $- \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}) - 20$

Этап 19.2.1.8.2

Применим правило умножения к $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 ({(- 1)}^{2} (\frac{{(3 \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}})) - 20$

Этап 19.2.1.8.3

Применим правило умножения к $3 \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})) - 20$

Этап 19.2.1.9

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (1 (\frac{3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})) - 20$

Этап 19.2.1.10

Умножим $\frac{3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}) - 20$

Этап 19.2.1.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.11.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}) - 20$

Этап 19.2.1.11.2

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.11.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}) - 20$

Этап 19.2.1.11.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}) - 20$

Этап 19.2.1.11.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) - 20$

Этап 19.2.1.11.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.11.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) - 20$

Этап 19.2.1.11.2.4.2

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9 \cdot 2}{2^{2}}) - 20$

Этап 19.2.1.11.2.5

Найдем экспоненту.

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9 \cdot 2}{2^{2}}) - 20$

Этап 19.2.1.12

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9 \cdot 2}{4}) - 20$

Этап 19.2.1.13

Умножим $9$ на $2$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{18}{4}) - 20$

Этап 19.2.1.14

Сократим общий множитель $18$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.14.1

Вынесем множитель $2$ из $18$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{2 (9)}{4}) - 20$

Этап 19.2.1.14.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.14.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}) - 20$

Этап 19.2.1.14.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}) - 20$

Этап 19.2.1.14.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9}{2}) - 20$

Этап 19.2.1.15

Умножим $9 (\frac{9}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.15.1

Объединим $9$ и $\frac{9}{2}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + \frac{9 \cdot 9}{2} - 20$

Этап 19.2.1.15.2

Умножим $9$ на $9$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + \frac{81}{2} - 20$

Этап 19.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.2.1

Умножим $\frac{81}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + \frac{81}{2} \cdot \frac{2}{2} - 20$

Этап 19.2.2.2

Умножим $\frac{81}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + \frac{81 \cdot 2}{2 \cdot 2} - 20$

Этап 19.2.2.3

Запишем $- 20$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + \frac{81 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 20}{1}$

Этап 19.2.2.4

Умножим $\frac{- 20}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + \frac{81 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 20}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 19.2.2.5

Умножим $\frac{- 20}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + \frac{81 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 20 \cdot 4}{4}$

Этап 19.2.2.6

Умножим $2$ на $2$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{81}{4} + \frac{81 \cdot 2}{4} + \frac{- 20 \cdot 4}{4}$

Этап 19.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = \frac{- 81 + 81 \cdot 2 - 20 \cdot 4}{4}$

Этап 19.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.4.1

Умножим $81$ на $2$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = \frac{- 81 + 162 - 20 \cdot 4}{4}$

Этап 19.2.4.2

Умножим $- 20$ на $4$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = \frac{- 81 + 162 - 80}{4}$

Этап 19.2.5

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.5.1

Добавим $- 81$ и $162$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = \frac{81 - 80}{4}$

Этап 19.2.5.2

Вычтем $80$ из $81$ .

$f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4}$

Этап 19.2.6

Окончательный ответ: $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{1}{4}$

Этап 20

Это локальные экстремумы $f (x) = - x^{4} + 9 x^{2} - 20$ .

$(0, - 20)$ — локальный минимум

$(\frac{3 \sqrt{2}}{2}, \frac{1}{4})$ — локальный максимум

$(- \frac{3 \sqrt{2}}{2}, \frac{1}{4})$ — локальный максимум

Этап 21