Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3} - x}{3 \sin (x + 3) + 3 x}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- 3$ .

$\frac{lim_{x \to - 3} e^{x + 3} - x}{lim_{x \to - 3} 3 \sin (x + 3) + 3 x}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 3$ .

$\frac{lim_{x \to - 3} e^{x + 3} - lim_{x \to - 3} x}{lim_{x \to - 3} 3 \sin (x + 3) + 3 x}$

Этап 3

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{e^{lim_{x \to - 3} x + 3} - lim_{x \to - 3} x}{lim_{x \to - 3} 3 \sin (x + 3) + 3 x}$

Этап 4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 3$ .

$\frac{e^{lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 3} - lim_{x \to - 3} x}{lim_{x \to - 3} 3 \sin (x + 3) + 3 x}$

Этап 5

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 3$ .

$\frac{e^{lim_{x \to - 3} x + 3} - lim_{x \to - 3} x}{lim_{x \to - 3} 3 \sin (x + 3) + 3 x}$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 3$ .

$\frac{e^{lim_{x \to - 3} x + 3} - lim_{x \to - 3} x}{lim_{x \to - 3} 3 \sin (x + 3) + lim_{x \to - 3} 3 x}$

Этап 7

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{e^{lim_{x \to - 3} x + 3} - lim_{x \to - 3} x}{3 lim_{x \to - 3} \sin (x + 3) + lim_{x \to - 3} 3 x}$

Этап 8

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{e^{lim_{x \to - 3} x + 3} - lim_{x \to - 3} x}{3 \sin (lim_{x \to - 3} x + 3) + lim_{x \to - 3} 3 x}$

Этап 9

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 3$ .

$\frac{e^{lim_{x \to - 3} x + 3} - lim_{x \to - 3} x}{3 \sin (lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 3) + lim_{x \to - 3} 3 x}$

Этап 10

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 3$ .

$\frac{e^{lim_{x \to - 3} x + 3} - lim_{x \to - 3} x}{3 \sin (lim_{x \to - 3} x + 3) + lim_{x \to - 3} 3 x}$

Этап 11

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{e^{lim_{x \to - 3} x + 3} - lim_{x \to - 3} x}{3 \sin (lim_{x \to - 3} x + 3) + 3 lim_{x \to - 3} x}$

Этап 12

Найдем значения пределов, подставив значение $- 3$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 3$ для $x$ .

$\frac{e^{- 3 + 3} - lim_{x \to - 3} x}{3 \sin (lim_{x \to - 3} x + 3) + 3 lim_{x \to - 3} x}$

Этап 12.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 3$ для $x$ .

$\frac{e^{- 3 + 3} + 3}{3 \sin (lim_{x \to - 3} x + 3) + 3 lim_{x \to - 3} x}$

Этап 12.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 3$ для $x$ .

$\frac{e^{- 3 + 3} + 3}{3 \sin (- 3 + 3) + 3 lim_{x \to - 3} x}$

Этап 12.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 3$ для $x$ .

$\frac{e^{- 3 + 3} + 3}{3 \sin (- 3 + 3) + 3 \cdot - 3}$

Этап 13

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Добавим $- 3$ и $3$ .

$\frac{e^{0} + 3}{3 \sin (- 3 + 3) + 3 \cdot - 3}$

Этап 13.1.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1 + 3}{3 \sin (- 3 + 3) + 3 \cdot - 3}$

Этап 13.1.3

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{4}{3 \sin (- 3 + 3) + 3 \cdot - 3}$

Этап 13.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Добавим $- 3$ и $3$ .

$\frac{4}{3 \sin (0) + 3 \cdot - 3}$

Этап 13.2.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{4}{3 \cdot 0 + 3 \cdot - 3}$

Этап 13.2.3

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{4}{0 + 3 \cdot - 3}$

Этап 13.2.4

Умножим $3$ на $- 3$ .

$\frac{4}{0 - 9}$

Этап 13.2.5

Вычтем $9$ из $0$ .

$\frac{4}{- 9}$

Этап 13.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4}{9}$