Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} 3 x^{- 2} e^{x}$

Этап 1

Упростим выражение под знаком предела.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} 3 \frac{1}{x^{2}} e^{x}$

Этап 1.2

Объединим множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}} e^{x}$

Этап 1.2.2

Объединим $\frac{3}{x^{2}}$ и $e^{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{x^{2}}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 e^{x}}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Этап 2.1.2

Поскольку функция $e^{x}$ стремится к $\infty$ , произведение положительной константы $3$ и функции стремится к $\infty$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Рассмотрим предел с исключенной константой, кратной $3$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Этап 2.1.2.2

Поскольку показатель степени $x$ стремится к $\infty$ , величина $e^{x}$ стремится к $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Этап 2.1.3

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 2.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{\infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 2.3.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 e^{x}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{2 x}$

Этап 3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 e^{x}}{lim_{x \to \infty} 2 x}$

Этап 3.1.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Рассмотрим предел с исключенной константой, кратной $3$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} 2 x}$

Этап 3.1.2.2

Поскольку показатель степени $x$ стремится к $\infty$ , величина $e^{x}$ стремится к $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2 x}$

Этап 3.1.3

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 3.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 3.2

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{2 x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x}]}{\frac{d}{d x} [2 x]}$

Этап 3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x}]}{\frac{d}{d x} [2 x]}$

Этап 3.3.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 e^{x}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [2 x]}$

Этап 3.3.3

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{\frac{d}{d x} [2 x]}$

Этап 3.3.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{2 \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.3.6

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{2}$

Этап 4

Поскольку функция $e^{x}$ стремится к $\infty$ , произведение положительной константы $\frac{3}{2}$ и функции стремится к $\infty$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Рассмотрим предел с исключенной константой, кратной $\frac{3}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{x}$

Этап 4.2

Поскольку показатель степени $x$ стремится к $\infty$ , величина $e^{x}$ стремится к $\infty$ .

$\infty$