Математический анализ Примеры

$\int \frac{x - 2}{3 x + 6} d x$

Этап 1

Разделим $x - 2$ на $3 x + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$3 x$

$6$

$x$

$2$

Этап 1.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

					$\frac{1}{3}$
	$3 x$	+	$6$		$x$	-	$2$

Этап 1.3

Умножим новое частное на делитель.

				$\frac{1}{3}$
$3 x$	+	$6$		$x$	-	$2$
			+	$x$	+	$2$

Этап 1.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x + 2$ .

				$\frac{1}{3}$
$3 x$	+	$6$		$x$	-	$2$
			-	$x$	-	$2$

Этап 1.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$\frac{1}{3}$
$3 x$	+	$6$		$x$	-	$2$
			-	$x$	-	$2$
					-	$4$

Этап 1.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int \frac{1}{3} - \frac{4}{3 x + 6} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{3} d x + \int - \frac{4}{3 x + 6} d x$

Этап 3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{3} x + C + \int - \frac{4}{3 x + 6} d x$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} x + C - \int \frac{4}{3 x + 6} d x$

Этап 5

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} x + C - (4 \int \frac{1}{3 x + 6} d x)$

Этап 6

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{1}{3} x + C - 4 \int \frac{1}{3 x + 6} d x$

Этап 7

Пусть $u = 3 x + 6$ . Тогда $d u = 3 d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Пусть $u = 3 x + 6$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Дифференцируем $3 x + 6$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 6]$

Этап 7.1.2

По правилу суммы производная $3 x + 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 7.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 7.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 7.1.3.3

Умножим $3$ на $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 7.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.4.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 + 0$

Этап 7.1.4.2

Добавим $3$ и $0$ .

$3$

Этап 7.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{1}{3} x + C - 4 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} x + C - 4 \int \frac{1}{u \cdot 3} d u$

Этап 8.2

Перенесем $3$ влево от $u$ .

$\frac{1}{3} x + C - 4 \int \frac{1}{3 u} d u$

Этап 9

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} x + C - 4 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 4$ .

$\frac{1}{3} x + C + \frac{- 4}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 10.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{3} x + C - \frac{4}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 11

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} x + C - \frac{4}{3} (\ln (| u |) + C)$

Этап 12

Упростим.

$\frac{1}{3} x - \frac{4}{3} \ln (| u |) + C$

Этап 13

Заменим все вхождения $u$ на $3 x + 6$ .

$\frac{1}{3} x - \frac{4}{3} \ln (| 3 x + 6 |) + C$