Математический анализ Примеры

$\int \frac{x + 4}{2 x + 6} d x$

Этап 1

Разделим $x + 4$ на $2 x + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$2 x$

$6$

$x$

$4$

Этап 1.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

					$\frac{1}{2}$
	$2 x$	+	$6$		$x$	+	$4$

Этап 1.3

Умножим новое частное на делитель.

				$\frac{1}{2}$
$2 x$	+	$6$		$x$	+	$4$
			+	$x$	+	$3$

Этап 1.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x + 3$ .

				$\frac{1}{2}$
$2 x$	+	$6$		$x$	+	$4$
			-	$x$	-	$3$

Этап 1.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$\frac{1}{2}$
$2 x$	+	$6$		$x$	+	$4$
			-	$x$	-	$3$
					+	$1$

Этап 1.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int \frac{1}{2} + \frac{1}{2 x + 6} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{2} d x + \int \frac{1}{2 x + 6} d x$

Этап 3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} x + C + \int \frac{1}{2 x + 6} d x$

Этап 4

Пусть $u = 2 x + 6$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = 2 x + 6$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $2 x + 6$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 6]$

Этап 4.1.2

По правилу суммы производная $2 x + 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 4.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 + 0$

Этап 4.1.4.2

Добавим $2$ и $0$ .

$2$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{1}{2} x + C + \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x + C + \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Этап 5.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$\frac{1}{2} x + C + \int \frac{1}{2 u} d u$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} x + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 7

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} x + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Этап 8

Упростим.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Этап 9

Заменим все вхождения $u$ на $2 x + 6$ .

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 6 |) + C$