Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} x^{7} e^{- x^{8}} d x$

Этап 1

Пусть $u_{1} = x^{2}$ . Тогда $d u_{1} = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u_{1} = x^{2}$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{lower} = 0^{2}$

Этап 1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{upper} = 1^{2}$

Этап 1.5

Единица в любой степени равна единице.

$u_{upper} = 1$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u_{1}$ , $d u_{1}$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{0}^{1} {\sqrt{u_{1}}}^{6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${\sqrt{u_{1}}}^{6}$ в виде ${u_{1}}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u_{1}}$ в виде ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{1} {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $6$ .

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{6}{2}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.1.4

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{3}{1}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.1.4.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.2

Перепишем ${\sqrt{u_{1}}}^{8}$ в виде ${u_{1}}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u_{1}}$ в виде ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $8$ .

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{8}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.2.4

Сократим общий множитель $8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{4}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.2.4.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${u_{1}}^{3}$ .

$\int_{0}^{1} \frac{{u_{1}}^{3}}{2} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Этап 2.4

Объединим $\frac{{u_{1}}^{3}}{2}$ и $e^{- {u_{1}}^{4}}$ .

$\int_{0}^{1} \frac{{u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}}}{2} d u_{1}$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Этап 4

Пусть $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Тогда $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Этап 4.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u_{1}$

Этап 4.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $u_{1}$ в $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ .

$u_{lower} = 0^{2}$

Этап 4.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 4.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $u_{1}$ в $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ .

$u_{upper} = 1^{2}$

Этап 4.5

Единица в любой степени равна единице.

$u_{upper} = 1$

Этап 4.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Этап 4.7

Переформулируем задачу, используя $u_{2}$ , $d u_{2}$ и новые пределы интегрирования.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {\sqrt{u_{2}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем ${\sqrt{u_{2}}}^{4}$ в виде ${u_{2}}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u_{2}}$ в виде ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 5.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 5.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 5.1.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 5.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 5.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 5.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 5.1.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 5.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{u_{2}}{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Этап 5.3

Объединим $\frac{u_{2}}{2}$ и $e^{- {u_{2}}^{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}}}{2} d u_{2}$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Этап 7.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{4} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Этап 8

Пусть $u_{3} = - {u_{2}}^{2}$ . Тогда $d u_{3} = - 2 u_{2} d u_{2}$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u_{3} = u_{2} d u_{2}$ . Перепишем, используя $u_{3}$ и $d$ $u_{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Пусть $u_{3} = - {u_{2}}^{2}$ . Найдем $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Дифференцируем $- {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [- {u_{2}}^{2}]$

Этап 8.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $u_{2}$ , производная $- {u_{2}}^{2}$ по $u_{2}$ равна $- \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$ .

$- \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$

Этап 8.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- (2 u_{2})$

Этап 8.1.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 u_{2}$

Этап 8.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $u_{2}$ в $u_{3} = - {u_{2}}^{2}$ .

$u_{lower} = - 0^{2}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$u_{lower} = - 0$

Этап 8.3.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 8.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $u_{2}$ в $u_{3} = - {u_{2}}^{2}$ .

$u_{upper} = - 1^{2}$

Этап 8.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Единица в любой степени равна единице.

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

Этап 8.5.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Этап 8.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 1$

Этап 8.7

Переформулируем задачу, используя $u_{3}$ , $d u_{3}$ и новые пределы интегрирования.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{- 1} e^{u_{3}} \frac{1}{- 2} d u_{3}$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{- 1} e^{u_{3}} (- \frac{1}{2}) d u_{3}$

Этап 9.2

Объединим $e^{u_{3}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} \int_{0}^{- 1} - \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3}$

Этап 10

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{3}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} (- \int_{0}^{- 1} \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3})$

Этап 11

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{3}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} (- (\frac{1}{2} \int_{0}^{- 1} e^{u_{3}} d u_{3}))$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 2} \int_{0}^{- 1} e^{u_{3}} d u_{3}$

Этап 12.2

Умножим $4$ на $2$ .

$- \frac{1}{8} \int_{0}^{- 1} e^{u_{3}} d u_{3}$

Этап 13

Интеграл $e^{u_{3}}$ по $u_{3}$ имеет вид $e^{u_{3}}$ .

$- \frac{1}{8} e^{u_{3}}]_{0}^{- 1}$

Этап 14

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Найдем значение $e^{u_{3}}$ в $- 1$ и в $0$ .

$- \frac{1}{8} ((e^{- 1}) - e^{0})$

Этап 14.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$- \frac{1}{8} (e^{- 1} - 1 \cdot 1)$

Этап 14.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{1}{8} (e^{- 1} - 1)$

Этап 15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{8} (\frac{1}{e} - 1)$

Этап 15.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{e} - \frac{1}{8} \cdot - 1$

Этап 15.3

Умножим $\frac{1}{e}$ на $\frac{1}{8}$ .

$- \frac{1}{e \cdot 8} - \frac{1}{8} \cdot - 1$

Этап 15.4

Умножим $- \frac{1}{8} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{1}{e \cdot 8} + 1 (\frac{1}{8})$

Этап 15.4.2

Умножим $\frac{1}{8}$ на $1$ .

$- \frac{1}{e \cdot 8} + \frac{1}{8}$

Этап 15.5

Перенесем $8$ влево от $e$ .

$- \frac{1}{8 e} + \frac{1}{8}$

Этап 16

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{1}{8 e} + \frac{1}{8}$

Десятичная форма:

$0.07901506 \dots$

Этап 17