Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} \frac{r^{3}}{\sqrt{16 + r^{2}}} d r$

Этап 1

Этот интеграл не удалось вычислить с помощью интегрирования по частям. Mathway использует другой способ.

Этап 2

Пусть $r = 4 \tan (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d r = 4 \sec^{2} (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $4 \sec^{2} (t)$ положительно.

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 + {(4 \tan (t))}^{2}}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим $\sqrt{16 + {(4 \tan (t))}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Применим правило умножения к $4 \tan (t)$ .

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 + 4^{2} \tan^{2} (t)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 3.1.1.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 + 16 \tan^{2} (t)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $16$ из $16$ .

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 (1) + 16 \tan^{2} (t)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $16$ из $16 \tan^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 (1) + 16 (\tan^{2} (t))}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 3.1.4

Вынесем множитель $16$ из $16 (1) + 16 (\tan^{2} (t))$ .

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 (1 + \tan^{2} (t))}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 3.1.5

Переставляем члены.

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 (\tan^{2} (t) + 1)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 3.1.6

Применим формулу Пифагора.

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 \sec^{2} (t)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 3.1.7

Перепишем $16 \sec^{2} (t)$ в виде ${(4 \sec (t))}^{2}$ .

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{{(4 \sec (t))}^{2}}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{4 \sec (t)} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 3.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $4 \sec (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Вынесем множитель $4 \sec (t)$ из $4 \sec^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{4 \sec (t)} (4 \sec (t) (\sec (t))) d t$

Этап 3.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{4 \sec (t)} (4 \sec (t) \sec (t)) d t$

Этап 3.2.1.3

Перепишем это выражение.

$\int_{0}^{0.24497866} {(4 \tan (t))}^{3} \sec (t) d t$

Этап 3.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 \tan (t)$ .

$\int_{0}^{0.24497866} {(4 (\tan (t)))}^{3} \sec (t) d t$

Этап 3.2.2.2

Применим правило умножения к $4 (\tan (t))$ .

$\int_{0}^{0.24497866} 4^{3} \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Этап 3.2.2.3

Возведем $4$ в степень $3$ .

$\int_{0}^{0.24497866} 64 \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Этап 4

Поскольку $64$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $64$ из-под знака интеграла.

$64 \int_{0}^{0.24497866} \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Этап 5

Возведем $\sec (t)$ в степень $1$ .

$64 \int_{0}^{0.24497866} \tan^{3} (t) \sec^{1} (t) d t$

Этап 6

Вынесем $\tan^{2} (t)$ за скобки.

$64 \int_{0}^{0.24497866} \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Этап 7

Используя формулы Пифагора, запишем $\tan^{2} (t)$ в виде $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$64 \int_{0}^{0.24497866} (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Этап 8

Упростим.

$64 \int_{0}^{0.24497866} (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec (t) d t$

Этап 9

Пусть $u = \sec (t)$ . Тогда $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ , следовательно $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Пусть $u = \sec (t)$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Дифференцируем $\sec (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

Этап 9.1.2

Производная $\sec (t)$ по $t$ равна $\sec (t) \tan (t)$ .

$\sec (t) \tan (t)$

Этап 9.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $t$ в $u = \sec (t)$ .

$u_{lower} = \sec (0)$

Этап 9.3

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 9.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $t$ в $u = \sec (t)$ .

$u_{upper} = \sec (0.24497866)$

Этап 9.5

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \sec (0.24497866)$

Этап 9.6

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$64 \int_{1}^{\sec (0.24497866)} - 1 + u^{2} d u$

Этап 10

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$64 (\int_{1}^{\sec (0.24497866)} - 1 d u + \int_{1}^{\sec (0.24497866)} u^{2} d u)$

Этап 11

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$64 (- u]_{1}^{\sec (0.24497866)} + \int_{1}^{\sec (0.24497866)} u^{2} d u)$

Этап 12

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$64 (- u]_{1}^{\sec (0.24497866)} + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{\sec (0.24497866)})$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Объединим $- u]_{1}^{\sec (0.24497866)}$ и $\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{\sec (0.24497866)}$ .

$64 (- u + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{\sec (0.24497866)})$

Этап 13.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $u^{3}$ .

$64 (- u + \frac{u^{3}}{3}]_{1}^{\sec (0.24497866)})$

Этап 14

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Найдем значение $- u + \frac{u^{3}}{3}$ в $\sec (0.24497866)$ и в $1$ .

$64 ((- \sec (0.24497866) + \frac{\sec^{3} (0.24497866)}{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

Этап 14.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Чтобы записать $- \sec (0.24497866)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$64 (- \sec (0.24497866) \cdot \frac{3}{3} + \frac{\sec^{3} (0.24497866)}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

Этап 14.2.2

Объединим $- \sec (0.24497866)$ и $\frac{3}{3}$ .

$64 (\frac{- \sec (0.24497866) \cdot 3}{3} + \frac{\sec^{3} (0.24497866)}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

Этап 14.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$64 (\frac{- \sec (0.24497866) \cdot 3 + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

Этап 14.2.4

Умножим $3$ на $- 1$ .

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

Этап 14.2.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - (- 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

Этап 14.2.6

Единица в любой степени равна единице.

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - (- 1 + \frac{1}{3}))$

Этап 14.2.7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - (- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}))$

Этап 14.2.8

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - (\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}))$

Этап 14.2.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - \frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3})$

Этап 14.2.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.10.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - \frac{- 3 + 1}{3})$

Этап 14.2.10.2

Добавим $- 3$ и $1$ .

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - \frac{- 2}{3})$

Этап 14.2.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - - \frac{2}{3})$

Этап 14.2.12

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} + 1 (\frac{2}{3}))$

Этап 14.2.13

Умножим $\frac{2}{3}$ на $1$ .

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} + \frac{2}{3})$

Этап 15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 \sec (0.24497866)$ .

$64 (\frac{- (3 \sec (0.24497866)) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} + \frac{2}{3})$

Этап 15.2

Вынесем множитель $- 1$ из $\sec^{3} (0.24497866)$ .

$64 (\frac{- (3 \sec (0.24497866)) - 1 (- \sec^{3} (0.24497866))}{3} + \frac{2}{3})$

Этап 15.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 \sec (0.24497866)) - 1 (- \sec^{3} (0.24497866))$ .

$64 (\frac{- (3 \sec (0.24497866) - \sec^{3} (0.24497866))}{3} + \frac{2}{3})$

Этап 15.4

Перепишем $- (3 \sec (0.24497866) - \sec^{3} (0.24497866))$ в виде $- 1 (3 \sec (0.24497866) - \sec^{3} (0.24497866))$ .

$64 (\frac{- 1 (3 \sec (0.24497866) - \sec^{3} (0.24497866))}{3} + \frac{2}{3})$

Этап 15.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$64 (- \frac{3 \sec (0.24497866) - \sec^{3} (0.24497866)}{3} + \frac{2}{3})$

Этап 16

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$64 (- \frac{3 \sec (0.24497866) - \sec^{3} (0.24497866)}{3} + \frac{2}{3})$

Десятичная форма:

$0.06124186 \dots$

Этап 17