Математический анализ Примеры

Let $f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{3}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $3$ на $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9 x^{2}$ по $x$ равна $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$6 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $- 9$ .

$6 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} [12 x]$

Этап 1.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} - 18 x + 12 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 x^{2} - 18 x + 12 \cdot 1$

Этап 1.1.4.3

Умножим $12$ на $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + 12$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $6 x^{2} - 18 x + 12$ .

$6 x^{2} - 18 x + 12$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $6 x^{2} - 18 x + 12 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$6 x^{2} - 18 x + 12 = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $6$ из $6 x^{2} - 18 x + 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $6$ из $6 x^{2}$ .

$6 (x^{2}) - 18 x + 12 = 0$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $6$ из $- 18 x$ .

$6 (x^{2}) + 6 (- 3 x) + 12 = 0$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $6$ из $12$ .

$6 x^{2} + 6 (- 3 x) + 6 \cdot 2 = 0$

Этап 2.2.1.4

Вынесем множитель $6$ из $6 x^{2} + 6 (- 3 x)$ .

$6 (x^{2} - 3 x) + 6 \cdot 2 = 0$

Этап 2.2.1.5

Вынесем множитель $6$ из $6 (x^{2} - 3 x) + 6 \cdot 2$ .

$6 (x^{2} - 3 x + 2) = 0$

Этап 2.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Разложим $x^{2} - 3 x + 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $2$ , а сумма — $- 3$ .

$- 2, - 1$

Этап 2.2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$6 ((x - 2) (x - 1)) = 0$

Этап 2.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$6 (x - 2) (x - 1) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 2.4.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 2.5

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 2.5.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $6 (x - 2) (x - 1) = 0$ верно.

$x = 2, 1$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $2$ вместо $x$ .

$2 {(2)}^{3} - 9 {(2)}^{2} + 12 (2)$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Умножим $2$ на ${(2)}^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1.1

Умножим $2$ на ${(2)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$2^{1} {(2)}^{3} - 9 {(2)}^{2} + 12 (2)$

Этап 4.1.2.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2^{1 + 3} - 9 {(2)}^{2} + 12 (2)$

Этап 4.1.2.1.1.2

Добавим $1$ и $3$ .

$2^{4} - 9 {(2)}^{2} + 12 (2)$

Этап 4.1.2.1.2

Возведем $2$ в степень $4$ .

$16 - 9 {(2)}^{2} + 12 (2)$

Этап 4.1.2.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$16 - 9 \cdot 4 + 12 (2)$

Этап 4.1.2.1.4

Умножим $- 9$ на $4$ .

$16 - 36 + 12 (2)$

Этап 4.1.2.1.5

Умножим $12$ на $2$ .

$16 - 36 + 24$

Этап 4.1.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Вычтем $36$ из $16$ .

$- 20 + 24$

Этап 4.1.2.2.2

Добавим $- 20$ и $24$ .

$4$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$2 {(1)}^{3} - 9 {(1)}^{2} + 12 (1)$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$2 \cdot 1 - 9 {(1)}^{2} + 12 (1)$

Этап 4.2.2.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$2 - 9 {(1)}^{2} + 12 (1)$

Этап 4.2.2.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$2 - 9 \cdot 1 + 12 (1)$

Этап 4.2.2.1.4

Умножим $- 9$ на $1$ .

$2 - 9 + 12 (1)$

Этап 4.2.2.1.5

Умножим $12$ на $1$ .

$2 - 9 + 12$

Этап 4.2.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Вычтем $9$ из $2$ .

$- 7 + 12$

Этап 4.2.2.2.2

Добавим $- 7$ и $12$ .

$5$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(2, 4), (1, 5)$

Этап 5