Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} {(x + e^{x})}^{\frac{1}{x}}$

Этап 1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(x + e^{x})}^{\frac{1}{x}}$ в виде $e^{\ln ({(x + e^{x})}^{\frac{1}{x}})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(x + e^{x})}^{\frac{1}{x}})}$

Этап 1.2

Развернем $\ln ({(x + e^{x})}^{\frac{1}{x}})$ , вынося $\frac{1}{x}$ из логарифма.

$lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x} \ln (x + e^{x})}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln (x + e^{x})}$

Этап 2.2

Объединим $\frac{1}{x}$ и $\ln (x + e^{x})$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\ln (x + e^{x})}{x}}$

Этап 3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$e^{\frac{lim_{x \to 0} \ln (x + e^{x})}{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 3.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Внесем предел под знак логарифма.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} x + e^{x})}{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 3.1.2.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} e^{x})}{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 3.1.2.3

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} x + e^{lim_{x \to 0} x})}{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 3.1.2.4

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$e^{\frac{\ln (0 + e^{lim_{x \to 0} x})}{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 3.1.2.4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$e^{\frac{\ln (0 + e^{0})}{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 3.1.2.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.5.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$e^{\frac{\ln (0 + 1)}{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 3.1.2.5.2

Добавим $0$ и $1$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 3.1.2.5.3

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 3.1.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Этап 3.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$e^{\frac{0}{0}}$

Этап 3.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (x + e^{x})}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + e^{x})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + e^{x})]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x + e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + e^{x}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + e^{x}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + e^{x}} \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.3

По правилу суммы производная $x + e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + e^{x}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + e^{x}} (1 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.5

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + e^{x}} (1 + e^{x})}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{x + e^{x}} (1 + e^{x})$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{(1 + e^{x}) \frac{1}{x + e^{x}}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.6.2

Умножим $1 + e^{x}$ на $\frac{1}{x + e^{x}}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1 + e^{x}}{x + e^{x}}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1 + e^{x}}{x + e^{x}}}{1}}$

Этап 3.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1 + e^{x}}{x + e^{x}} \cdot 1}$

Этап 3.5

Умножим $\frac{1 + e^{x}}{x + e^{x}}$ на $1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1 + e^{x}}{x + e^{x}}}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$e^{\frac{lim_{x \to 0} 1 + e^{x}}{lim_{x \to 0} x + e^{x}}}$

Этап 4.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$e^{\frac{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} x + e^{x}}}$

Этап 4.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$e^{\frac{1 + lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} x + e^{x}}}$

Этап 4.4

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{\frac{1 + e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x + e^{x}}}$

Этап 4.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$e^{\frac{1 + e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} e^{x}}}$

Этап 4.6

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{\frac{1 + e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x + e^{lim_{x \to 0} x}}}$

Этап 5

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$e^{\frac{1 + e^{0}}{lim_{x \to 0} x + e^{lim_{x \to 0} x}}}$

Этап 5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$e^{\frac{1 + e^{0}}{0 + e^{lim_{x \to 0} x}}}$

Этап 5.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$e^{\frac{1 + e^{0}}{0 + e^{0}}}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$e^{\frac{1 + 1}{0 + e^{0}}}$

Этап 6.1.2

Добавим $1$ и $1$ .

$e^{\frac{2}{0 + e^{0}}}$

Этап 6.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$e^{\frac{2}{0 + 1}}$

Этап 6.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

$e^{\frac{2}{1}}$

Этап 6.3

Разделим $2$ на $1$ .

$e^{2}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$e^{2}$

Десятичная форма:

$7.38905609 \dots$