Математический анализ Примеры

$\sum_{i = 1}^{9} - 28 {(- \frac{1}{2})}^{i - 1}$

Этап 1

Сумму конечного геометрического ряда можно найти по формуле $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , где $a$ — первый член, а $r$ — отношение между последовательными членами.

Этап 2

Найдем отношение последовательных членов, подставив в формулу $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим $a_{i}$ и $a_{i + 1}$ в формулу для $r$ .

$r = \frac{- 28 {(- \frac{1}{2})}^{i + 1 - 1}}{- 28 {(- \frac{1}{2})}^{i - 1}}$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $- 28$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$r = \frac{- 28 {(- \frac{1}{2})}^{i + 1 - 1}}{- 28 {(- \frac{1}{2})}^{i - 1}}$

Этап 2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{i + 1 - 1}}{{(- \frac{1}{2})}^{i - 1}}$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель ${(- \frac{1}{2})}^{i + 1 - 1}$ и ${(- \frac{1}{2})}^{i - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем множитель ${(- \frac{1}{2})}^{i - 1}$ из ${(- \frac{1}{2})}^{i + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{i - 1} {(- \frac{1}{2})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(- \frac{1}{2})}^{i - 1}}$

Этап 2.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Умножим на $1$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{i - 1} {(- \frac{1}{2})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(- \frac{1}{2})}^{i - 1} \cdot 1}$

Этап 2.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{i - 1} {(- \frac{1}{2})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(- \frac{1}{2})}^{i - 1} \cdot 1}$

Этап 2.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{i + 0 - (i - 1)}}{1}$

Этап 2.2.2.2.4

Разделим ${(- \frac{1}{2})}^{i + 0 - (i - 1)}$ на $1$ .

$r = {(- \frac{1}{2})}^{i + 0 - (i - 1)}$

Этап 2.2.3

Добавим $i$ и $0$ .

$r = {(- \frac{1}{2})}^{i - (i - 1)}$

Этап 2.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$r = {(- \frac{1}{2})}^{i - i - - 1}$

Этап 2.2.4.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$r = {(- \frac{1}{2})}^{i - i + 1}$

Этап 2.2.5

Вычтем $i$ из $i$ .

$r = {(- \frac{1}{2})}^{0 + 1}$

Этап 2.2.6

Добавим $0$ и $1$ .

$r = {(- \frac{1}{2})}^{1}$

Этап 2.2.7

Упростим.

$r = - \frac{1}{2}$

Этап 3

Найдем первый член ряда, подставив начальное значение и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $1$ вместо $i$ в $- 28 {(- \frac{1}{2})}^{i - 1}$ .

$a = - 28 {(- \frac{1}{2})}^{1 - 1}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$a = - 28 {(- \frac{1}{2})}^{0}$

Этап 3.2.2

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{2}$ .

$a = - 28 ({(- 1)}^{0} {(\frac{1}{2})}^{0})$

Этап 3.2.2.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$a = - 28 ({(- 1)}^{0} \frac{1^{0}}{2^{0}})$

Этап 3.2.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$a = - 28 (1 \frac{1^{0}}{2^{0}})$

Этап 3.2.4

Умножим $\frac{1^{0}}{2^{0}}$ на $1$ .

$a = - 28 \frac{1^{0}}{2^{0}}$

Этап 3.2.5

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$a = - 28 \frac{1}{2^{0}}$

Этап 3.2.6

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$a = - 28 (\frac{1}{1})$

Этап 3.2.7

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1

Сократим общий множитель.

$a = - 28 (\frac{1}{1})$

Этап 3.2.7.2

Перепишем это выражение.

$a = - 28 \cdot 1$

Этап 3.2.8

Умножим $- 28$ на $1$ .

$a = - 28$

Этап 4

Подставим знаменатель, первый член и количество членов геометрической прогрессии в формулу суммы.

$- 28 \frac{1 - {(- \frac{1}{2})}^{9}}{1 - - \frac{1}{2}}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{2}$ .

$- 28 \frac{1 - ({(- 1)}^{9} {(\frac{1}{2})}^{9})}{1 - - \frac{1}{2}}$

Этап 5.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$- 28 \frac{1 - ({(- 1)}^{9} \frac{1^{9}}{2^{9}})}{1 - - \frac{1}{2}}$

Этап 5.1.2

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{9}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Перенесем ${(- 1)}^{9}$ .

$- 28 \frac{1 + {(- 1)}^{9} \cdot - 1 \frac{1^{9}}{2^{9}}}{1 - - \frac{1}{2}}$

Этап 5.1.2.2

Умножим ${(- 1)}^{9}$ на $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.2.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$- 28 \frac{1 + {(- 1)}^{9} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{1^{9}}{2^{9}}}{1 - - \frac{1}{2}}$

Этап 5.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 28 \frac{1 + {(- 1)}^{9 + 1} \frac{1^{9}}{2^{9}}}{1 - - \frac{1}{2}}$

Этап 5.1.2.3

Добавим $9$ и $1$ .

$- 28 \frac{1 + {(- 1)}^{10} \frac{1^{9}}{2^{9}}}{1 - - \frac{1}{2}}$

Этап 5.1.3

Возведем $- 1$ в степень $10$ .

$- 28 \frac{1 + 1 \frac{1^{9}}{2^{9}}}{1 - - \frac{1}{2}}$

Этап 5.1.4

Умножим $\frac{1^{9}}{2^{9}}$ на $1$ .

$- 28 \frac{1 + \frac{1^{9}}{2^{9}}}{1 - - \frac{1}{2}}$

Этап 5.1.5

Единица в любой степени равна единице.

$- 28 \frac{1 + \frac{1}{2^{9}}}{1 - - \frac{1}{2}}$

Этап 5.1.6

Возведем $2$ в степень $9$ .

$- 28 \frac{1 + \frac{1}{512}}{1 - - \frac{1}{2}}$

Этап 5.1.7

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- 28 \frac{\frac{512}{512} + \frac{1}{512}}{1 - - \frac{1}{2}}$

Этап 5.1.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 28 \frac{\frac{512 + 1}{512}}{1 - - \frac{1}{2}}$

Этап 5.1.9

Добавим $512$ и $1$ .

$- 28 \frac{\frac{513}{512}}{1 - - \frac{1}{2}}$

Этап 5.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $- - \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- 28 \frac{\frac{513}{512}}{1 + 1 (\frac{1}{2})}$

Этап 5.2.1.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$- 28 \frac{\frac{513}{512}}{1 + \frac{1}{2}}$

Этап 5.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- 28 \frac{\frac{513}{512}}{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}$

Этап 5.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 28 \frac{\frac{513}{512}}{\frac{2 + 1}{2}}$

Этап 5.2.4

Добавим $2$ и $1$ .

$- 28 \frac{\frac{513}{512}}{\frac{3}{2}}$

Этап 5.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- 28 (\frac{513}{512} \cdot \frac{2}{3})$

Этап 5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $3$ из $513$ .

$- 28 (\frac{3 (171)}{512} \cdot \frac{2}{3})$

Этап 5.4.2

Сократим общий множитель.

$- 28 (\frac{3 \cdot 171}{512} \cdot \frac{2}{3})$

Этап 5.4.3

Перепишем это выражение.

$- 28 (\frac{171}{512} \cdot 2)$

Этап 5.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Вынесем множитель $2$ из $512$ .

$- 28 (\frac{171}{2 (256)} \cdot 2)$

Этап 5.5.2

Сократим общий множитель.

$- 28 (\frac{171}{2 \cdot 256} \cdot 2)$

Этап 5.5.3

Перепишем это выражение.

$- 28 (\frac{171}{256})$

Этап 5.6

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Вынесем множитель $4$ из $- 28$ .

$4 (- 7) \frac{171}{256}$

Этап 5.6.2

Вынесем множитель $4$ из $256$ .

$4 \cdot - 7 \frac{171}{4 \cdot 64}$

Этап 5.6.3

Сократим общий множитель.

$4 \cdot - 7 \frac{171}{4 \cdot 64}$

Этап 5.6.4

Перепишем это выражение.

$- 7 (\frac{171}{64})$

Этап 5.7

Объединим $- 7$ и $\frac{171}{64}$ .

$\frac{- 7 \cdot 171}{64}$

Этап 5.8

Умножим $- 7$ на $171$ .

$\frac{- 1197}{64}$

Этап 5.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1197}{64}$