Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{5} - 4 x^{3} + 4 x - 1$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $x^{5} - 4 x^{3} + 4 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{3}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 x^{4} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$5 x^{4} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.2.3

Умножим $3$ на $- 4$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.3.3

Умножим $4$ на $1$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 + 0$

Этап 1.4.2

Добавим $5 x^{4} - 12 x^{2} + 4$ и $0$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $5 x^{4} - 12 x^{2} + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{4}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f'' (x) = 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.2.3

Умножим $4$ на $5$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 x^{2}$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $- 12$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 24 x + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 24 x + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $20 x^{3} - 24 x$ и $0$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 24 x$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{3}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 x^{4} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$5 x^{4} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $3$ на $- 4$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $4$ на $1$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 + 0$

Этап 4.1.4.2

Добавим $5 x^{4} - 12 x^{2} + 4$ и $0$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 12 x^{2} + 4$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $5 x^{4} - 12 x^{2} + 4$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 = 0$

Этап 5.2

Подставим $u = x^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$5 u^{2} - 12 u + 4 = 0$

$u = x^{2}$

Этап 5.3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 5 \cdot 4 = 20$ , а сумма — $b = - 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Вынесем множитель $- 12$ из $- 12 u$ .

$5 u^{2} - 12 u + 4 = 0$

Этап 5.3.1.2

Запишем $- 12$ как $- 2$ плюс $- 10$

$5 u^{2} + (- 2 - 10) u + 4 = 0$

Этап 5.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 u^{2} - 2 u - 10 u + 4 = 0$

Этап 5.3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(5 u^{2} - 2 u) - 10 u + 4 = 0$

Этап 5.3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$u (5 u - 2) - 2 (5 u - 2) = 0$

Этап 5.3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $5 u - 2$ .

$(5 u - 2) (u - 2) = 0$

Этап 5.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$5 u - 2 = 0$

$u - 2 = 0$

Этап 5.5

Приравняем $5 u - 2$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $5 u - 2$ к $0$ .

$5 u - 2 = 0$

Этап 5.5.2

Решим $5 u - 2 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$5 u = 2$

Этап 5.5.2.2

Разделим каждый член $5 u = 2$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Разделим каждый член $5 u = 2$ на $5$ .

$\frac{5 u}{5} = \frac{2}{5}$

Этап 5.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 u}{5} = \frac{2}{5}$

Этап 5.5.2.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{2}{5}$

Этап 5.6

Приравняем $u - 2$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Приравняем $u - 2$ к $0$ .

$u - 2 = 0$

Этап 5.6.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$u = 2$

Этап 5.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(5 u - 2) (u - 2) = 0$ верно.

$u = \frac{2}{5}, 2$

Этап 5.8

Подставим вещественное значение $u = x^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$x^{2} = \frac{2}{5}$

${(x^{2})}^{1} = 2$

Этап 5.9

Решим первое уравнение относительно $x$ .

$x^{2} = \frac{2}{5}$

Этап 5.10

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{\frac{2}{5}}$

Этап 5.10.2

Упростим $\pm \sqrt{\frac{2}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.2.1

Перепишем $\sqrt{\frac{2}{5}}$ в виде $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

Этап 5.10.2.2

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Этап 5.10.2.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.2.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Этап 5.10.2.3.2

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Этап 5.10.2.3.3

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Этап 5.10.2.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Этап 5.10.2.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Этап 5.10.2.3.6

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.2.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.10.2.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.10.2.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.10.2.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.2.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.10.2.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Этап 5.10.2.3.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5}$

Этап 5.10.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.2.4.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 \cdot 5}}{5}$

Этап 5.10.2.4.2

Умножим $2$ на $5$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10}}{5}$

Этап 5.10.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}$

Этап 5.10.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{\sqrt{10}}{5}$

Этап 5.10.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}, - \frac{\sqrt{10}}{5}$

Этап 5.11

Решим второе уравнение относительно $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 2$

Этап 5.12

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.12.1

Избавимся от скобок.

$x^{2} = 2$

Этап 5.12.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{2}$

Этап 5.12.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.12.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{2}$

Этап 5.12.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{2}$

Этап 5.12.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Этап 5.13

Решением $5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 = 0$ является $x = \frac{\sqrt{10}}{5}, - \frac{\sqrt{10}}{5}, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$ .

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}, - \frac{\sqrt{10}}{5}, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}, - \frac{\sqrt{10}}{5}, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = \frac{\sqrt{10}}{5}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$20 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$20 \frac{{\sqrt{10}}^{3}}{5^{3}} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Этап 9.1.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Перепишем ${\sqrt{10}}^{3}$ в виде $\sqrt{10^{3}}$ .

$20 \frac{\sqrt{10^{3}}}{5^{3}} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Этап 9.1.2.2

Возведем $10$ в степень $3$ .

$20 \frac{\sqrt{1000}}{5^{3}} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Этап 9.1.2.3

Перепишем $1000$ в виде $10^{2} \cdot 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.3.1

Вынесем множитель $100$ из $1000$ .

$20 \frac{\sqrt{100 (10)}}{5^{3}} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Этап 9.1.2.3.2

Перепишем $100$ в виде $10^{2}$ .

$20 \frac{\sqrt{10^{2} \cdot 10}}{5^{3}} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Этап 9.1.2.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$20 \frac{10 \sqrt{10}}{5^{3}} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Этап 9.1.3

Возведем $5$ в степень $3$ .

$20 \frac{10 \sqrt{10}}{125} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Этап 9.1.4

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.4.1

Вынесем множитель $5$ из $20$ .

$5 (4) \frac{10 \sqrt{10}}{125} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Этап 9.1.4.2

Вынесем множитель $5$ из $125$ .

$5 \cdot 4 \frac{10 \sqrt{10}}{5 \cdot 25} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Этап 9.1.4.3

Сократим общий множитель.

$5 \cdot 4 \frac{10 \sqrt{10}}{5 \cdot 25} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Этап 9.1.4.4

Перепишем это выражение.

$4 \frac{10 \sqrt{10}}{25} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Этап 9.1.5

Объединим $4$ и $\frac{10 \sqrt{10}}{25}$ .

$\frac{4 (10 \sqrt{10})}{25} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Этап 9.1.6

Умножим $10$ на $4$ .

$\frac{40 \sqrt{10}}{25} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Этап 9.1.7

Сократим общий множитель $40$ и $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.7.1

Вынесем множитель $5$ из $40 \sqrt{10}$ .

$\frac{5 (8 \sqrt{10})}{25} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Этап 9.1.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.7.2.1

Вынесем множитель $5$ из $25$ .

$\frac{5 (8 \sqrt{10})}{5 (5)} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Этап 9.1.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 (8 \sqrt{10})}{5 \cdot 5} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Этап 9.1.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{8 \sqrt{10}}{5} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Этап 9.1.8

Объединим $- 24$ и $\frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$\frac{8 \sqrt{10}}{5} + \frac{- 24 \sqrt{10}}{5}$

Этап 9.1.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{8 \sqrt{10}}{5} - \frac{24 \sqrt{10}}{5}$

Этап 9.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{8 \sqrt{10} - 24 \sqrt{10}}{5}$

Этап 9.2.2

Вычтем $24 \sqrt{10}$ из $8 \sqrt{10}$ .

$\frac{- 16 \sqrt{10}}{5}$

Этап 9.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{16 \sqrt{10}}{5}$

Этап 10

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = \frac{\sqrt{10}}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{5} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{{\sqrt{10}}^{5}}{5^{5}} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Этап 11.2.1.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.2.1

Перепишем ${\sqrt{10}}^{5}$ в виде $\sqrt{10^{5}}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{\sqrt{10^{5}}}{5^{5}} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Этап 11.2.1.2.2

Возведем $10$ в степень $5$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{\sqrt{100000}}{5^{5}} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Этап 11.2.1.2.3

Перепишем $100000$ в виде $100^{2} \cdot 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.2.3.1

Вынесем множитель $10000$ из $100000$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{\sqrt{10000 (10)}}{5^{5}} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Этап 11.2.1.2.3.2

Перепишем $10000$ в виде $100^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{\sqrt{100^{2} \cdot 10}}{5^{5}} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Этап 11.2.1.2.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{100 \sqrt{10}}{5^{5}} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Этап 11.2.1.3

Возведем $5$ в степень $5$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{100 \sqrt{10}}{3125} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Этап 11.2.1.4

Сократим общий множитель $100$ и $3125$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.4.1

Вынесем множитель $25$ из $100 \sqrt{10}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{25 (4 \sqrt{10})}{3125} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Этап 11.2.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.4.2.1

Вынесем множитель $25$ из $3125$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{25 (4 \sqrt{10})}{25 (125)} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Этап 11.2.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{25 (4 \sqrt{10})}{25 \cdot 125} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Этап 11.2.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Этап 11.2.1.5

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 \frac{{\sqrt{10}}^{3}}{5^{3}} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Этап 11.2.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.6.1

Перепишем ${\sqrt{10}}^{3}$ в виде $\sqrt{10^{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 \frac{\sqrt{10^{3}}}{5^{3}} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Этап 11.2.1.6.2

Возведем $10$ в степень $3$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 \frac{\sqrt{1000}}{5^{3}} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Этап 11.2.1.6.3

Перепишем $1000$ в виде $10^{2} \cdot 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.6.3.1

Вынесем множитель $100$ из $1000$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 \frac{\sqrt{100 (10)}}{5^{3}} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Этап 11.2.1.6.3.2

Перепишем $100$ в виде $10^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 \frac{\sqrt{10^{2} \cdot 10}}{5^{3}} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Этап 11.2.1.6.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 \frac{10 \sqrt{10}}{5^{3}} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Этап 11.2.1.7

Возведем $5$ в степень $3$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 \frac{10 \sqrt{10}}{125} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Этап 11.2.1.8

Сократим общий множитель $10$ и $125$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.8.1

Вынесем множитель $5$ из $10 \sqrt{10}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 \frac{5 (2 \sqrt{10})}{125} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Этап 11.2.1.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.8.2.1

Вынесем множитель $5$ из $125$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 \frac{5 (2 \sqrt{10})}{5 (25)} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Этап 11.2.1.8.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 \frac{5 (2 \sqrt{10})}{5 \cdot 25} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Этап 11.2.1.8.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 \frac{2 \sqrt{10}}{25} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Этап 11.2.1.9

Умножим $- 4 \frac{2 \sqrt{10}}{25}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.9.1

Объединим $- 4$ и $\frac{2 \sqrt{10}}{25}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} + \frac{- 4 (2 \sqrt{10})}{25} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Этап 11.2.1.9.2

Умножим $2$ на $- 4$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} + \frac{- 8 \sqrt{10}}{25} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Этап 11.2.1.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - \frac{8 \sqrt{10}}{25} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Этап 11.2.1.11

Объединим $4$ и $\frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - \frac{8 \sqrt{10}}{25} + \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Этап 11.2.2

Чтобы записать $- \frac{8 \sqrt{10}}{25}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - \frac{8 \sqrt{10}}{25} \cdot \frac{5}{5} + \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Этап 11.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $125$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Умножим $\frac{8 \sqrt{10}}{25}$ на $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - \frac{8 \sqrt{10} \cdot 5}{25 \cdot 5} + \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Этап 11.2.3.2

Умножим $25$ на $5$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - \frac{8 \sqrt{10} \cdot 5}{125} + \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Этап 11.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10} - 8 \sqrt{10} \cdot 5}{125} + \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Этап 11.2.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.5.1.1

Умножим $5$ на $- 8$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10} - 40 \sqrt{10}}{125} + \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Этап 11.2.5.1.2

Вычтем $40 \sqrt{10}$ из $4 \sqrt{10}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{- 36 \sqrt{10}}{125} + \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Этап 11.2.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{36 \sqrt{10}}{125} + \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Этап 11.2.6

Чтобы записать $\frac{4 \sqrt{10}}{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{25}{25}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{36 \sqrt{10}}{125} + \frac{4 \sqrt{10}}{5} \cdot \frac{25}{25} - 1$

Этап 11.2.7

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $125$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.7.1

Умножим $\frac{4 \sqrt{10}}{5}$ на $\frac{25}{25}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{36 \sqrt{10}}{125} + \frac{4 \sqrt{10} \cdot 25}{5 \cdot 25} - 1$

Этап 11.2.7.2

Умножим $5$ на $25$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{36 \sqrt{10}}{125} + \frac{4 \sqrt{10} \cdot 25}{125} - 1$

Этап 11.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{- 36 \sqrt{10} + 4 \sqrt{10} \cdot 25}{125} - 1$

Этап 11.2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.9.1

Умножим $25$ на $4$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{- 36 \sqrt{10} + 100 \sqrt{10}}{125} - 1$

Этап 11.2.9.2

Добавим $- 36 \sqrt{10}$ и $100 \sqrt{10}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{64 \sqrt{10}}{125} - 1$

Этап 11.2.10

Окончательный ответ: $\frac{64 \sqrt{10}}{125} - 1$ .

$y = \frac{64 \sqrt{10}}{125} - 1$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = - \frac{\sqrt{10}}{5}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$20 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$20 ({(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3}) - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Этап 13.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$20 ({(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{10}}^{3}}{5^{3}}) - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Этап 13.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$20 (- \frac{{\sqrt{10}}^{3}}{5^{3}}) - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Этап 13.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.3.1

Перепишем ${\sqrt{10}}^{3}$ в виде $\sqrt{10^{3}}$ .

$20 (- \frac{\sqrt{10^{3}}}{5^{3}}) - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Этап 13.1.3.2

Возведем $10$ в степень $3$ .

$20 (- \frac{\sqrt{1000}}{5^{3}}) - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Этап 13.1.3.3

Перепишем $1000$ в виде $10^{2} \cdot 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.3.3.1

Вынесем множитель $100$ из $1000$ .

$20 (- \frac{\sqrt{100 (10)}}{5^{3}}) - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Этап 13.1.3.3.2

Перепишем $100$ в виде $10^{2}$ .

$20 (- \frac{\sqrt{10^{2} \cdot 10}}{5^{3}}) - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Этап 13.1.3.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$20 (- \frac{10 \sqrt{10}}{5^{3}}) - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Этап 13.1.4

Возведем $5$ в степень $3$ .

$20 (- \frac{10 \sqrt{10}}{125}) - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Этап 13.1.5

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{10 \sqrt{10}}{125}$ в числитель.

$20 \frac{- 10 \sqrt{10}}{125} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Этап 13.1.5.2

Вынесем множитель $5$ из $20$ .

$5 (4) \frac{- 10 \sqrt{10}}{125} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Этап 13.1.5.3

Вынесем множитель $5$ из $125$ .

$5 \cdot 4 \frac{- 10 \sqrt{10}}{5 \cdot 25} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Этап 13.1.5.4

Сократим общий множитель.

$5 \cdot 4 \frac{- 10 \sqrt{10}}{5 \cdot 25} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Этап 13.1.5.5

Перепишем это выражение.

$4 \frac{- 10 \sqrt{10}}{25} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Этап 13.1.6

Объединим $4$ и $\frac{- 10 \sqrt{10}}{25}$ .

$\frac{4 (- 10 \sqrt{10})}{25} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Этап 13.1.7

Умножим $- 10$ на $4$ .

$\frac{- 40 \sqrt{10}}{25} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Этап 13.1.8

Сократим общий множитель $- 40$ и $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.8.1

Вынесем множитель $5$ из $- 40 \sqrt{10}$ .

$\frac{5 (- 8 \sqrt{10})}{25} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Этап 13.1.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.8.2.1

Вынесем множитель $5$ из $25$ .

$\frac{5 (- 8 \sqrt{10})}{5 (5)} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Этап 13.1.8.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 (- 8 \sqrt{10})}{5 \cdot 5} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Этап 13.1.8.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 8 \sqrt{10}}{5} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Этап 13.1.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{8 \sqrt{10}}{5} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Этап 13.1.10

Умножим $- 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.10.1

Умножим $- 1$ на $- 24$ .

$- \frac{8 \sqrt{10}}{5} + 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Этап 13.1.10.2

Объединим $24$ и $\frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$- \frac{8 \sqrt{10}}{5} + \frac{24 \sqrt{10}}{5}$

Этап 13.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 8 \sqrt{10} + 24 \sqrt{10}}{5}$

Этап 13.2.2

Добавим $- 8 \sqrt{10}$ и $24 \sqrt{10}$ .

$\frac{16 \sqrt{10}}{5}$

Этап 14

$x = - \frac{\sqrt{10}}{5}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \frac{\sqrt{10}}{5}$ — локальный минимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = - \frac{\sqrt{10}}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{5} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = {(- 1)}^{5} {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{5} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Этап 15.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = {(- 1)}^{5} (\frac{{\sqrt{10}}^{5}}{5^{5}}) - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Этап 15.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $5$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{{\sqrt{10}}^{5}}{5^{5}} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Этап 15.2.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.3.1

Перепишем ${\sqrt{10}}^{5}$ в виде $\sqrt{10^{5}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{\sqrt{10^{5}}}{5^{5}} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Этап 15.2.1.3.2

Возведем $10$ в степень $5$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{\sqrt{100000}}{5^{5}} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Этап 15.2.1.3.3

Перепишем $100000$ в виде $100^{2} \cdot 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.3.3.1

Вынесем множитель $10000$ из $100000$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{\sqrt{10000 (10)}}{5^{5}} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Этап 15.2.1.3.3.2

Перепишем $10000$ в виде $100^{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{\sqrt{100^{2} \cdot 10}}{5^{5}} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Этап 15.2.1.3.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{100 \sqrt{10}}{5^{5}} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Этап 15.2.1.4

Возведем $5$ в степень $5$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{100 \sqrt{10}}{3125} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Этап 15.2.1.5

Сократим общий множитель $100$ и $3125$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.5.1

Вынесем множитель $25$ из $100 \sqrt{10}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{25 (4 \sqrt{10})}{3125} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Этап 15.2.1.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.5.2.1

Вынесем множитель $25$ из $3125$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{25 (4 \sqrt{10})}{25 (125)} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Этап 15.2.1.5.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{25 (4 \sqrt{10})}{25 \cdot 125} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Этап 15.2.1.5.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Этап 15.2.1.6

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.6.1

Применим правило умножения к $- \frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 ({(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Этап 15.2.1.6.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 ({(- 1)}^{3} (\frac{{\sqrt{10}}^{3}}{5^{3}})) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Этап 15.2.1.7

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 (- \frac{{\sqrt{10}}^{3}}{5^{3}}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Этап 15.2.1.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.8.1

Перепишем ${\sqrt{10}}^{3}$ в виде $\sqrt{10^{3}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 (- \frac{\sqrt{10^{3}}}{5^{3}}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Этап 15.2.1.8.2

Возведем $10$ в степень $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 (- \frac{\sqrt{1000}}{5^{3}}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Этап 15.2.1.8.3

Перепишем $1000$ в виде $10^{2} \cdot 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.8.3.1

Вынесем множитель $100$ из $1000$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 (- \frac{\sqrt{100 (10)}}{5^{3}}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Этап 15.2.1.8.3.2

Перепишем $100$ в виде $10^{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 (- \frac{\sqrt{10^{2} \cdot 10}}{5^{3}}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Этап 15.2.1.8.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 (- \frac{10 \sqrt{10}}{5^{3}}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Этап 15.2.1.9

Возведем $5$ в степень $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 (- \frac{10 \sqrt{10}}{125}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Этап 15.2.1.10

Сократим общий множитель $10$ и $125$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.10.1

Вынесем множитель $5$ из $10 \sqrt{10}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 (- \frac{5 (2 \sqrt{10})}{125}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Этап 15.2.1.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.10.2.1

Вынесем множитель $5$ из $125$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 (- \frac{5 (2 \sqrt{10})}{5 (25)}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Этап 15.2.1.10.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 (- \frac{5 (2 \sqrt{10})}{5 \cdot 25}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Этап 15.2.1.10.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 (- \frac{2 \sqrt{10}}{25}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Этап 15.2.1.11

Умножим $- 4 (- \frac{2 \sqrt{10}}{25})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.11.1

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} + 4 (\frac{2 \sqrt{10}}{25}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Этап 15.2.1.11.2

Объединим $4$ и $\frac{2 \sqrt{10}}{25}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} + \frac{4 (2 \sqrt{10})}{25} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Этап 15.2.1.11.3

Умножим $2$ на $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} + \frac{8 \sqrt{10}}{25} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Этап 15.2.1.12

Умножим $4 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.12.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} + \frac{8 \sqrt{10}}{25} - 4 \frac{\sqrt{10}}{5} - 1$

Этап 15.2.1.12.2

Объединим $- 4$ и $\frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} + \frac{8 \sqrt{10}}{25} + \frac{- 4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Этап 15.2.1.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} + \frac{8 \sqrt{10}}{25} - \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Этап 15.2.2

Чтобы записать $\frac{8 \sqrt{10}}{25}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} + \frac{8 \sqrt{10}}{25} \cdot \frac{5}{5} - \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Этап 15.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $125$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.3.1

Умножим $\frac{8 \sqrt{10}}{25}$ на $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} + \frac{8 \sqrt{10} \cdot 5}{25 \cdot 5} - \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Этап 15.2.3.2

Умножим $25$ на $5$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} + \frac{8 \sqrt{10} \cdot 5}{125} - \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Этап 15.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{- 4 \sqrt{10} + 8 \sqrt{10} \cdot 5}{125} - \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Этап 15.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.5.1

Умножим $5$ на $8$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{- 4 \sqrt{10} + 40 \sqrt{10}}{125} - \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Этап 15.2.5.2

Добавим $- 4 \sqrt{10}$ и $40 \sqrt{10}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{36 \sqrt{10}}{125} - \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Этап 15.2.6

Чтобы записать $- \frac{4 \sqrt{10}}{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{25}{25}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{36 \sqrt{10}}{125} - \frac{4 \sqrt{10}}{5} \cdot \frac{25}{25} - 1$

Этап 15.2.7

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $125$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.7.1

Умножим $\frac{4 \sqrt{10}}{5}$ на $\frac{25}{25}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{36 \sqrt{10}}{125} - \frac{4 \sqrt{10} \cdot 25}{5 \cdot 25} - 1$

Этап 15.2.7.2

Умножим $5$ на $25$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{36 \sqrt{10}}{125} - \frac{4 \sqrt{10} \cdot 25}{125} - 1$

Этап 15.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{36 \sqrt{10} - 4 \sqrt{10} \cdot 25}{125} - 1$

Этап 15.2.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.9.1.1

Умножим $25$ на $- 4$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{36 \sqrt{10} - 100 \sqrt{10}}{125} - 1$

Этап 15.2.9.1.2

Вычтем $100 \sqrt{10}$ из $36 \sqrt{10}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{- 64 \sqrt{10}}{125} - 1$

Этап 15.2.9.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{64 \sqrt{10}}{125} - 1$

Этап 15.2.10

Окончательный ответ: $- \frac{64 \sqrt{10}}{125} - 1$ .

$y = - \frac{64 \sqrt{10}}{125} - 1$

Этап 16

Найдем вторую производную в $x = \sqrt{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$20 {(\sqrt{2})}^{3} - 24 \sqrt{2}$

Этап 17

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Перепишем ${\sqrt{2}}^{3}$ в виде $\sqrt{2^{3}}$ .

$20 \sqrt{2^{3}} - 24 \sqrt{2}$

Этап 17.1.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$20 \sqrt{8} - 24 \sqrt{2}$

Этап 17.1.3

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$20 \sqrt{4 (2)} - 24 \sqrt{2}$

Этап 17.1.3.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$20 \sqrt{2^{2} \cdot 2} - 24 \sqrt{2}$

Этап 17.1.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$20 (2 \sqrt{2}) - 24 \sqrt{2}$

Этап 17.1.5

Умножим $2$ на $20$ .

$40 \sqrt{2} - 24 \sqrt{2}$

Этап 17.2

Вычтем $24 \sqrt{2}$ из $40 \sqrt{2}$ .

$16 \sqrt{2}$

Этап 18

$x = \sqrt{2}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \sqrt{2}$ — локальный минимум

Этап 19

Найдем значение y, если $x = \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\sqrt{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = {(\sqrt{2})}^{5} - 4 {(\sqrt{2})}^{3} + 4 (\sqrt{2}) - 1$

Этап 19.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.1

Перепишем ${\sqrt{2}}^{5}$ в виде $\sqrt{2^{5}}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2^{5}} - 4 {(\sqrt{2})}^{3} + 4 (\sqrt{2}) - 1$

Этап 19.2.1.2

Возведем $2$ в степень $5$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{32} - 4 {(\sqrt{2})}^{3} + 4 (\sqrt{2}) - 1$

Этап 19.2.1.3

Перепишем $32$ в виде $4^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.3.1

Вынесем множитель $16$ из $32$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{16 (2)} - 4 {(\sqrt{2})}^{3} + 4 (\sqrt{2}) - 1$

Этап 19.2.1.3.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{4^{2} \cdot 2} - 4 {(\sqrt{2})}^{3} + 4 (\sqrt{2}) - 1$

Этап 19.2.1.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (\sqrt{2}) = 4 \sqrt{2} - 4 {(\sqrt{2})}^{3} + 4 (\sqrt{2}) - 1$

Этап 19.2.1.5

Перепишем ${\sqrt{2}}^{3}$ в виде $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2^{3}} + 4 (\sqrt{2}) - 1$

Этап 19.2.1.6

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{8} + 4 (\sqrt{2}) - 1$

Этап 19.2.1.7

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{4 (2)} + 4 (\sqrt{2}) - 1$

Этап 19.2.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2^{2} \cdot 2} + 4 (\sqrt{2}) - 1$

Этап 19.2.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (\sqrt{2}) = 4 \sqrt{2} - 4 (2 \sqrt{2}) + 4 (\sqrt{2}) - 1$

Этап 19.2.1.9

Умножим $2$ на $- 4$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 \sqrt{2} - 8 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 1$

Этап 19.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.2.1

Вычтем $8 \sqrt{2}$ из $4 \sqrt{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 1$

Этап 19.2.2.2

Добавим $- 4 \sqrt{2}$ и $4 \sqrt{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = 0 - 1$

Этап 19.2.2.3

Вычтем $1$ из $0$ .

$f (\sqrt{2}) = - 1$

Этап 19.2.3

Окончательный ответ: $- 1$ .

$y = - 1$

Этап 20

Найдем вторую производную в $x = - \sqrt{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$20 {(- \sqrt{2})}^{3} - 24 (- \sqrt{2})$

Этап 21

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1.1

Применим правило умножения к $- \sqrt{2}$ .

$20 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}) - 24 (- \sqrt{2})$

Этап 21.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$20 (- {\sqrt{2}}^{3}) - 24 (- \sqrt{2})$

Этап 21.1.3

Перепишем ${\sqrt{2}}^{3}$ в виде $\sqrt{2^{3}}$ .

$20 (- \sqrt{2^{3}}) - 24 (- \sqrt{2})$

Этап 21.1.4

Возведем $2$ в степень $3$ .

$20 (- \sqrt{8}) - 24 (- \sqrt{2})$

Этап 21.1.5

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1.5.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$20 (- \sqrt{4 (2)}) - 24 (- \sqrt{2})$

Этап 21.1.5.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$20 (- \sqrt{2^{2} \cdot 2}) - 24 (- \sqrt{2})$

Этап 21.1.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$20 (- (2 \sqrt{2})) - 24 (- \sqrt{2})$

Этап 21.1.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$20 (- 2 \sqrt{2}) - 24 (- \sqrt{2})$

Этап 21.1.8

Умножим $- 2$ на $20$ .

$- 40 \sqrt{2} - 24 (- \sqrt{2})$

Этап 21.1.9

Умножим $- 1$ на $- 24$ .

$- 40 \sqrt{2} + 24 \sqrt{2}$

Этап 21.2

Добавим $- 40 \sqrt{2}$ и $24 \sqrt{2}$ .

$- 16 \sqrt{2}$

Этап 22

$x = - \sqrt{2}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \sqrt{2}$ — локальный максимум

Этап 23

Найдем значение y, если $x = - \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = {(- \sqrt{2})}^{5} - 4 {(- \sqrt{2})}^{3} + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Этап 23.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.2.1.1

Применим правило умножения к $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = {(- 1)}^{5} {\sqrt{2}}^{5} - 4 {(- \sqrt{2})}^{3} + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Этап 23.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $5$ .

$f (- \sqrt{2}) = - {\sqrt{2}}^{5} - 4 {(- \sqrt{2})}^{3} + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Этап 23.2.1.3

Перепишем ${\sqrt{2}}^{5}$ в виде $\sqrt{2^{5}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2^{5}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{3} + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Этап 23.2.1.4

Возведем $2$ в степень $5$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{32} - 4 {(- \sqrt{2})}^{3} + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Этап 23.2.1.5

Перепишем $32$ в виде $4^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.2.1.5.1

Вынесем множитель $16$ из $32$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{16 (2)} - 4 {(- \sqrt{2})}^{3} + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Этап 23.2.1.5.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{4^{2} \cdot 2} - 4 {(- \sqrt{2})}^{3} + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Этап 23.2.1.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (- \sqrt{2}) = - (4 \sqrt{2}) - 4 {(- \sqrt{2})}^{3} + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Этап 23.2.1.7

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} - 4 {(- \sqrt{2})}^{3} + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Этап 23.2.1.8

Применим правило умножения к $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} - 4 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}) + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Этап 23.2.1.9

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} - 4 (- {\sqrt{2}}^{3}) + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Этап 23.2.1.10

Перепишем ${\sqrt{2}}^{3}$ в виде $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} - 4 (- \sqrt{2^{3}}) + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Этап 23.2.1.11

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} - 4 (- \sqrt{8}) + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Этап 23.2.1.12

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.2.1.12.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} - 4 (- \sqrt{4 (2)}) + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Этап 23.2.1.12.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} - 4 (- \sqrt{2^{2} \cdot 2}) + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Этап 23.2.1.13

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (- \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} - 4 (- (2 \sqrt{2})) + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Этап 23.2.1.14

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} - 4 (- 2 \sqrt{2}) + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Этап 23.2.1.15

Умножим $- 2$ на $- 4$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} + 8 \sqrt{2} + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Этап 23.2.1.16

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} + 8 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} - 1$

Этап 23.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.2.2.1

Добавим $- 4 \sqrt{2}$ и $8 \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} - 1$

Этап 23.2.2.2

Вычтем $4 \sqrt{2}$ из $4 \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 0 - 1$

Этап 23.2.2.3

Вычтем $1$ из $0$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 1$

Этап 23.2.3

Окончательный ответ: $- 1$ .

$y = - 1$

Этап 24

Это локальные экстремумы $f (x) = x^{5} - 4 x^{3} + 4 x - 1$ .

$(\frac{\sqrt{10}}{5}, \frac{64 \sqrt{10}}{125} - 1)$ — локальный максимум

$(- \frac{\sqrt{10}}{5}, - \frac{64 \sqrt{10}}{125} - 1)$ — локальный минимум

$(\sqrt{2}, - 1)$ — локальный минимум

$(- \sqrt{2}, - 1)$ — локальный максимум

Этап 25