Математический анализ Примеры

${(e^{x} + 1)}^{2}$

Этап 1

Запишем ${(e^{x} + 1)}^{2}$ в виде функции.

$f (x) = {(e^{x} + 1)}^{2}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int {(e^{x} + 1)}^{2} d x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем ${(e^{x} + 1)}^{2}$ в виде $(e^{x} + 1) (e^{x} + 1)$ .

$\int (e^{x} + 1) (e^{x} + 1) d x$

Этап 4.2

Развернем $(e^{x} + 1) (e^{x} + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int e^{x} (e^{x} + 1) + 1 (e^{x} + 1) d x$

Этап 4.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1 + 1 (e^{x} + 1) d x$

Этап 4.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1 + 1 e^{x} + 1 \cdot 1 d x$

Этап 4.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Умножим $e^{x}$ на $e^{x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int e^{x + x} + e^{x} \cdot 1 + 1 e^{x} + 1 \cdot 1 d x$

Этап 4.3.1.1.2

Добавим $x$ и $x$ .

$\int e^{2 x} + e^{x} \cdot 1 + 1 e^{x} + 1 \cdot 1 d x$

Этап 4.3.1.2

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$\int e^{2 x} + e^{x} + 1 e^{x} + 1 \cdot 1 d x$

Этап 4.3.1.3

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$\int e^{2 x} + e^{x} + e^{x} + 1 \cdot 1 d x$

Этап 4.3.1.4

Умножим $1$ на $1$ .

$\int e^{2 x} + e^{x} + e^{x} + 1 d x$

Этап 4.3.2

Добавим $e^{x}$ и $e^{x}$ .

$\int e^{2 x} + 2 e^{x} + 1 d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int e^{2 x} d x + \int 2 e^{x} d x + \int d x$

Этап 6

Пусть $u = 2 x$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u = 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 6.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 6.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 6.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 6.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int 2 e^{x} d x + \int d x$

Этап 7

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u}}{2} d u + \int 2 e^{x} d x + \int d x$

Этап 8

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u + \int 2 e^{x} d x + \int d x$

Этап 9

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + \int 2 e^{x} d x + \int d x$

Этап 10

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 \int e^{x} d x + \int d x$

Этап 11

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 (e^{x} + C) + \int d x$

Этап 12

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 (e^{x} + C) + x + C$

Этап 13

Упростим.

$\frac{1}{2} e^{u} + 2 e^{x} + x + C$

Этап 14

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$\frac{1}{2} e^{2 x} + 2 e^{x} + x + C$

Этап 15

Ответ ― первообразная функции $f (x) = {(e^{x} + 1)}^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} + 2 e^{x} + x + C$