Математический анализ Примеры

$\int \frac{6}{5 \sqrt[3]{x}} d x$

Этап 1

Поскольку $\frac{6}{5}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{6}{5}$ из-под знака интеграла.

$\frac{6}{5} \int \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x$

Этап 2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{6}{5} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Этап 2.2

Вынесем $x^{\frac{1}{3}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{6}{5} \int {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

Этап 2.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6}{5} \int x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x$

Этап 2.3.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 1$ .

$\frac{6}{5} \int x^{\frac{- 1}{3}} d x$

Этап 2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{6}{5} \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{1}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{6}{5} (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C)$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $\frac{6}{5} (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C)$ в виде $\frac{6}{5} \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$ .

$\frac{6}{5} \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $\frac{6}{5}$ на $\frac{3}{2}$ .

$\frac{6 \cdot 3}{5 \cdot 2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Этап 4.2.2

Умножим $6$ на $3$ .

$\frac{18}{5 \cdot 2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Этап 4.2.3

Умножим $5$ на $2$ .

$\frac{18}{10} x^{\frac{2}{3}} + C$

Этап 4.2.4

Сократим общий множитель $18$ и $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $18$ .

$\frac{2 (9)}{10} x^{\frac{2}{3}} + C$

Этап 4.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 5} x^{\frac{2}{3}} + C$

Этап 4.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 5} x^{\frac{2}{3}} + C$

Этап 4.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{9}{5} x^{\frac{2}{3}} + C$