Математический анализ Примеры

$y = \frac{- x^{3} \cdot \cos (x^{3})}{3}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{3} \cos (x^{3})}{3}]$

Этап 1.2

Поскольку $- \frac{1}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{x^{3} \cos (x^{3})}{3}$ по $x$ равна $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3} \cos (x^{3})]$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3} \cos (x^{3})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = \cos (x^{3})$ .

$- \frac{1}{3} (x^{3} \frac{d}{d x} [\cos (x^{3})] + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{3}$ .

$- \frac{1}{3} (x^{3} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 3.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$- \frac{1}{3} (x^{3} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{3}$ .

$- \frac{1}{3} (x^{3} (- \sin (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- \frac{1}{3} (x^{3} (- \sin (x^{3}) (3 x^{2})) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 4.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- \frac{1}{3} (x^{3} (- 3 \sin (x^{3}) x^{2}) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 5

Умножим $x^{3}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем $x^{2}$ .

$- \frac{1}{3} (x^{2} x^{3} (- 3 \sin (x^{3})) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{1}{3} (x^{2 + 3} (- 3 \sin (x^{3})) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 5.3

Добавим $2$ и $3$ .

$- \frac{1}{3} (x^{5} (- 3 \sin (x^{3})) + \cos (x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- \frac{1}{3} (x^{5} (- 3 \sin (x^{3})) + \cos (x^{3}) (3 x^{2}))$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{1}{3} (x^{5} (- 3 \sin (x^{3}))) - \frac{1}{3} (\cos (x^{3}) (3 x^{2}))$

Этап 7.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$3 (\frac{1}{3}) (x^{5} (\sin (x^{3}))) - \frac{1}{3} (\cos (x^{3}) (3 x^{2}))$

Этап 7.2.2

Объединим $3$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} (x^{5} (\sin (x^{3}))) - \frac{1}{3} (\cos (x^{3}) (3 x^{2}))$

Этап 7.2.3

Объединим $x^{5}$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{5} \cdot 3}{3} \sin (x^{3}) - \frac{1}{3} (\cos (x^{3}) (3 x^{2}))$

Этап 7.2.4

Объединим $\frac{x^{5} \cdot 3}{3}$ и $\sin (x^{3})$ .

$\frac{x^{5} \cdot 3 \sin (x^{3})}{3} - \frac{1}{3} (\cos (x^{3}) (3 x^{2}))$

Этап 7.2.5

Перенесем $3$ влево от $x^{5}$ .

$\frac{3 \cdot x^{5} \sin (x^{3})}{3} - \frac{1}{3} (\cos (x^{3}) (3 x^{2}))$

Этап 7.2.6

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x^{5} \sin (x^{3})}{3} - \frac{1}{3} (\cos (x^{3}) (3 x^{2}))$

Этап 7.2.6.2

Разделим $x^{5} \sin (x^{3})$ на $1$ .

$x^{5} \sin (x^{3}) - \frac{1}{3} (\cos (x^{3}) (3 x^{2}))$

Этап 7.2.7

Умножим $3$ на $- 1$ .

$x^{5} \sin (x^{3}) - 3 (\frac{1}{3}) (\cos (x^{3}) (x^{2}))$

Этап 7.2.8

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{3}$ .

$x^{5} \sin (x^{3}) + \frac{- 3}{3} (\cos (x^{3}) (x^{2}))$

Этап 7.2.9

Объединим $\cos (x^{3})$ и $\frac{- 3}{3}$ .

$x^{5} \sin (x^{3}) + \frac{\cos (x^{3}) \cdot - 3}{3} x^{2}$

Этап 7.2.10

Объединим $\frac{\cos (x^{3}) \cdot - 3}{3}$ и $x^{2}$ .

$x^{5} \sin (x^{3}) + \frac{\cos (x^{3}) \cdot - 3 x^{2}}{3}$

Этап 7.2.11

Перенесем $- 3$ влево от $\cos (x^{3})$ .

$x^{5} \sin (x^{3}) + \frac{- 3 \cdot \cos (x^{3}) x^{2}}{3}$

Этап 7.2.12

Сократим общий множитель $- 3$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.12.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 \cos (x^{3}) x^{2}$ .

$x^{5} \sin (x^{3}) + \frac{3 (- \cos (x^{3}) x^{2})}{3}$

Этап 7.2.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.12.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$x^{5} \sin (x^{3}) + \frac{3 (- \cos (x^{3}) x^{2})}{3 (1)}$

Этап 7.2.12.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{5} \sin (x^{3}) + \frac{3 (- \cos (x^{3}) x^{2})}{3 \cdot 1}$

Этап 7.2.12.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{5} \sin (x^{3}) + \frac{- \cos (x^{3}) x^{2}}{1}$

Этап 7.2.12.2.4

Разделим $- \cos (x^{3}) x^{2}$ на $1$ .

$x^{5} \sin (x^{3}) - \cos (x^{3}) x^{2}$

Этап 7.3

Изменим порядок членов.

$x^{5} \sin (x^{3}) - x^{2} \cos (x^{3})$