Математический анализ Примеры

$\int \frac{2 x^{2} + 3}{x^{3} - 2 x^{2} + x} d x$

Этап 1

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разложим дробь на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} - 2 x^{2} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$\frac{2 x^{2} + 3}{x \cdot x^{2} - 2 x^{2} + x}$

Этап 1.1.1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} + 3}{x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x}$

Этап 1.1.1.1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 3}{x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x^{1}}$

Этап 1.1.1.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{2 x^{2} + 3}{x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot 1}$

Этап 1.1.1.1.5

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x (- 2 x)$ .

$\frac{2 x^{2} + 3}{x (x^{2} - 2 x) + x \cdot 1}$

Этап 1.1.1.1.6

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{2} - 2 x) + x \cdot 1$ .

$\frac{2 x^{2} + 3}{x (x^{2} - 2 x + 1)}$

Этап 1.1.1.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} + 3}{x (x^{2} - 2 x + 1^{2})}$

Этап 1.1.1.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Этап 1.1.1.2.3

Перепишем многочлен.

$\frac{2 x^{2} + 3}{x (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}$

Этап 1.1.1.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{2 x^{2} + 3}{x {(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3

$\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{C}{x - 1}$

Этап 1.1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $x {(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{(2 x^{2} + 3) (x {(x - 1)}^{2})}{x {(x - 1)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 1)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Этап 1.1.5

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(2 x^{2} + 3) (x {(x - 1)}^{2})}{x {(x - 1)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 1)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Этап 1.1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(2 x^{2} + 3) ({(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 1)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Этап 1.1.6

Сократим общий множитель ${(x - 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(2 x^{2} + 3) {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 1)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Этап 1.1.6.2

Разделим $2 x^{2} + 3$ на $1$ .

$2 x^{2} + 3 = \frac{A (x {(x - 1)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Этап 1.1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1.1

Сократим общий множитель.

$2 x^{2} + 3 = \frac{A (x {(x - 1)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Этап 1.1.7.1.2

Разделим $A ({(x - 1)}^{2})$ на $1$ .

$2 x^{2} + 3 = A ({(x - 1)}^{2}) + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Этап 1.1.7.2

Перепишем ${(x - 1)}^{2}$ в виде $(x - 1) (x - 1)$ .

$2 x^{2} + 3 = A ((x - 1) (x - 1)) + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Этап 1.1.7.3

Развернем $(x - 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} + 3 = A (x (x - 1) - 1 (x - 1)) + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Этап 1.1.7.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} + 3 = A (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Этап 1.1.7.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} + 3 = A (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Этап 1.1.7.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$2 x^{2} + 3 = A (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Этап 1.1.7.4.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$2 x^{2} + 3 = A (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Этап 1.1.7.4.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$2 x^{2} + 3 = A (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Этап 1.1.7.4.1.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$2 x^{2} + 3 = A (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Этап 1.1.7.4.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$2 x^{2} + 3 = A (x^{2} - x - x + 1) + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Этап 1.1.7.4.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$2 x^{2} + 3 = A (x^{2} - 2 x + 1) + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Этап 1.1.7.5

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} + 3 = A x^{2} + A (- 2 x) + A \cdot 1 + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Этап 1.1.7.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.6.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 x^{2} + 3 = A x^{2} - 2 A x + A \cdot 1 + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Этап 1.1.7.6.2

Умножим $A$ на $1$ .

$2 x^{2} + 3 = A x^{2} - 2 A x + A + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Этап 1.1.7.7

Сократим общий множитель ${(x - 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.7.1

Сократим общий множитель.

$2 x^{2} + 3 = A x^{2} - 2 A x + A + \frac{B (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Этап 1.1.7.7.2

Разделим $(B) (x)$ на $1$ .

$2 x^{2} + 3 = A x^{2} - 2 A x + A + (B) (x) + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Этап 1.1.7.8

Сократим общий множитель ${(x - 1)}^{2}$ и $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.8.1

Вынесем множитель $x - 1$ из $(C) (x {(x - 1)}^{2})$ .

$2 x^{2} + 3 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + \frac{(x - 1) (C (x (x - 1)))}{x - 1}$

Этап 1.1.7.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.8.2.1

Умножим на $1$ .

$2 x^{2} + 3 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + \frac{(x - 1) (C (x (x - 1)))}{(x - 1) \cdot 1}$

Этап 1.1.7.8.2.2

Сократим общий множитель.

$2 x^{2} + 3 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + \frac{(x - 1) (C (x (x - 1)))}{(x - 1) \cdot 1}$

Этап 1.1.7.8.2.3

Перепишем это выражение.

$2 x^{2} + 3 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + \frac{C (x (x - 1))}{1}$

Этап 1.1.7.8.2.4

Разделим $C (x (x - 1))$ на $1$ .

$2 x^{2} + 3 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + C (x (x - 1))$

Этап 1.1.7.9

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} + 3 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + C (x \cdot x + x \cdot - 1)$

Этап 1.1.7.10

Умножим $x$ на $x$ .

$2 x^{2} + 3 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + C (x^{2} + x \cdot - 1)$

Этап 1.1.7.11

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$2 x^{2} + 3 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + C (x^{2} - 1 \cdot x)$

Этап 1.1.7.12

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$2 x^{2} + 3 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + C (x^{2} - x)$

Этап 1.1.7.13

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} + 3 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + C x^{2} + C (- x)$

Этап 1.1.7.14

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 x^{2} + 3 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + C x^{2} - C x$

Этап 1.1.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.1

Перенесем $A$ .

$2 x^{2} + 3 = A x^{2} - 2 x A + A + B x + C x^{2} - C x$

Этап 1.1.8.2

Изменим порядок $B$ и $x$ .

$2 x^{2} + 3 = A x^{2} - 2 x A + A + B x + C x^{2} - C x$

Этап 1.1.8.3

Перенесем $A$ .

$2 x^{2} + 3 = A x^{2} - 2 x A + B x + C x^{2} - C x + A$

Этап 1.1.8.4

Перенесем $B x$ .

$2 x^{2} + 3 = A x^{2} - 2 x A + C x^{2} + B x - C x + A$

Этап 1.1.8.5

Перенесем $- 2 x A$ .

$2 x^{2} + 3 = A x^{2} + C x^{2} - 2 x A + B x - C x + A$

Этап 1.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$2 = A + C$

Этап 1.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = - 2 A + B - 1 C$

Этап 1.2.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$3 = A$

Этап 1.2.4

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$2 = A + C$

$0 = - 2 A + B - 1 C$

$3 = A$

$2 = A + C$

$0 = - 2 A + B - 1 C$

$3 = A$

Этап 1.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перепишем уравнение в виде $A = 3$ .

$A = 3$

$2 = A + C$

$0 = - 2 A + B - 1 C$

Этап 1.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $3$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $2 = A + C$ на $3$ .

$2 = (3) + C$

$A = 3$

$0 = - 2 A + B - 1 C$

Этап 1.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1

Избавимся от скобок.

$2 = 3 + C$

$A = 3$

$0 = - 2 A + B - 1 C$

$2 = 3 + C$

$A = 3$

$0 = - 2 A + B - 1 C$

Этап 1.3.2.3

Заменим все вхождения $A$ в $0 = - 2 A + B - 1 C$ на $3$ .

$0 = - 2 \cdot 3 + B - 1 C$

$2 = 3 + C$

$A = 3$

Этап 1.3.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.4.1.1

Умножим $- 2$ на $3$ .

$0 = - 6 + B - 1 C$

$2 = 3 + C$

$A = 3$

Этап 1.3.2.4.1.2

Перепишем $- 1 C$ в виде $- C$ .

$0 = - 6 + B - C$

$2 = 3 + C$

$A = 3$

$0 = - 6 + B - C$

$2 = 3 + C$

$A = 3$

$0 = - 6 + B - C$

$2 = 3 + C$

$A = 3$

$0 = - 6 + B - C$

$2 = 3 + C$

$A = 3$

Этап 1.3.3

Решим относительно $C$ в $2 = 3 + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $3 + C = 2$ .

$3 + C = 2$

$0 = - 6 + B - C$

$A = 3$

Этап 1.3.3.2

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$C = 2 - 3$

$0 = - 6 + B - C$

$A = 3$

Этап 1.3.3.2.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$C = - 1$

$0 = - 6 + B - C$

$A = 3$

$C = - 1$

$0 = - 6 + B - C$

$A = 3$

$C = - 1$

$0 = - 6 + B - C$

$A = 3$

Этап 1.3.4

Заменим все вхождения $C$ на $- 1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Заменим все вхождения $C$ в $0 = - 6 + B - C$ на $- 1$ .

$0 = - 6 + B - (- 1)$

$C = - 1$

$A = 3$

Этап 1.3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1

Упростим $- 6 + B - (- 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$0 = - 6 + B + 1$

$C = - 1$

$A = 3$

Этап 1.3.4.2.1.2

Добавим $- 6$ и $1$ .

$0 = B - 5$

$C = - 1$

$A = 3$

$0 = B - 5$

$C = - 1$

$A = 3$

$0 = B - 5$

$C = - 1$

$A = 3$

$0 = B - 5$

$C = - 1$

$A = 3$

Этап 1.3.5

Решим относительно $B$ в $0 = B - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Перепишем уравнение в виде $B - 5 = 0$ .

$B - 5 = 0$

$C = - 1$

$A = 3$

Этап 1.3.5.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$B = 5$

$C = - 1$

$A = 3$

$B = 5$

$C = - 1$

$A = 3$

Этап 1.3.6

Решим систему уравнений.

$B = 5 C = - 1 A = 3$

Этап 1.3.7

Перечислим все решения.

$B = 5, C = - 1, A = 3$

Этап 1.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{C}{x - 1}$ значениями, найденными для $A$ , $B$ и $C$ .

$\frac{3}{x} + \frac{5}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{- 1}{x - 1}$

Этап 1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int \frac{3}{x} + \frac{5}{{(x - 1)}^{2}} - \frac{1}{x - 1} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{3}{x} d x + \int \frac{5}{{(x - 1)}^{2}} d x + \int - \frac{1}{x - 1} d x$

Этап 3

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{5}{{(x - 1)}^{2}} d x + \int - \frac{1}{x - 1} d x$

Этап 4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$3 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{5}{{(x - 1)}^{2}} d x + \int - \frac{1}{x - 1} d x$

Этап 5

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$3 (\ln (| x |) + C) + 5 \int \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} d x + \int - \frac{1}{x - 1} d x$

Этап 6

Пусть $u_{1} = x - 1$ . Тогда $d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u_{1} = x - 1$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 6.1.2

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 6.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 6.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 6.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 6.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$3 (\ln (| x |) + C) + 5 \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int - \frac{1}{x - 1} d x$

Этап 7

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем ${u_{1}}^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$3 (\ln (| x |) + C) + 5 \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int - \frac{1}{x - 1} d x$

Этап 7.2

Перемножим экспоненты в ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\ln (| x |) + C) + 5 \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int - \frac{1}{x - 1} d x$

Этап 7.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$3 (\ln (| x |) + C) + 5 \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int - \frac{1}{x - 1} d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл ${u_{1}}^{- 2}$ по $u_{1}$ имеет вид $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$3 (\ln (| x |) + C) + 5 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int - \frac{1}{x - 1} d x$

Этап 9

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$3 (\ln (| x |) + C) + 5 (- {u_{1}}^{- 1} + C) - \int \frac{1}{x - 1} d x$

Этап 10

Пусть $u_{2} = x - 1$ . Тогда $d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Пусть $u_{2} = x - 1$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Дифференцируем $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 10.1.2

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 10.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 10.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 10.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 10.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$3 (\ln (| x |) + C) + 5 (- {u_{1}}^{- 1} + C) - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 11

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$3 (\ln (| x |) + C) + 5 (- {u_{1}}^{- 1} + C) - (\ln (| u_{2} |) + C)$

Этап 12

Упростим.

$3 \ln (| x |) - \frac{5}{u_{1}} - \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 13

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x - 1$ .

$3 \ln (| x |) - \frac{5}{x - 1} - \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 13.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x - 1$ .

$3 \ln (| x |) - \frac{5}{x - 1} - \ln (| x - 1 |) + C$