Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{2} π {(4 - 2 x)}^{2} d x$

Этап 1

Поскольку $π$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $π$ из-под знака интеграла.

$π \int_{0}^{2} {(4 - 2 x)}^{2} d x$

Этап 2

Пусть $u = 4 - 2 x$ . Тогда $d u = - 2 d x$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 4 - 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $4 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 - 2 x]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

По правилу суммы производная $4 - 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 2.1.2.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Этап 2.1.3.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$0 - 2$

Этап 2.1.4

Вычтем $2$ из $0$ .

$- 2$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 4 - 2 x$ .

$u_{lower} = 4 - 2 \cdot 0$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $- 2$ на $0$ .

$u_{lower} = 4 + 0$

Этап 2.3.2

Добавим $4$ и $0$ .

$u_{lower} = 4$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 4 - 2 x$ .

$u_{upper} = 4 - 2 \cdot 2$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$u_{upper} = 4 - 4$

Этап 2.5.2

Вычтем $4$ из $4$ .

$u_{upper} = 0$

Этап 2.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 0$

Этап 2.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$π \int_{4}^{0} u^{2} \frac{1}{- 2} d u$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$π \int_{4}^{0} u^{2} (- \frac{1}{2}) d u$

Этап 3.2

Объединим $u^{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$π \int_{4}^{0} - \frac{u^{2}}{2} d u$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$π (- \int_{4}^{0} \frac{u^{2}}{2} d u)$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$π (- (\frac{1}{2} \int_{4}^{0} u^{2} d u))$

Этап 6

Объединим $π$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{π}{2} \int_{4}^{0} u^{2} d u$

Этап 7

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- \frac{π}{2} \frac{1}{3} u^{3}]_{4}^{0}$

Этап 8

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем значение $\frac{1}{3} u^{3}$ в $0$ и в $4$ .

$- \frac{π}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 4^{3})$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{π}{2} (\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot 4^{3})$

Этап 8.2.2

Умножим $\frac{1}{3}$ на $0$ .

$- \frac{π}{2} (0 - \frac{1}{3} \cdot 4^{3})$

Этап 8.2.3

Возведем $4$ в степень $3$ .

$- \frac{π}{2} (0 - \frac{1}{3} \cdot 64)$

Этап 8.2.4

Умножим $64$ на $- 1$ .

$- \frac{π}{2} (0 - 64 (\frac{1}{3}))$

Этап 8.2.5

Объединим $- 64$ и $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{π}{2} (0 + \frac{- 64}{3})$

Этап 8.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{π}{2} (0 - \frac{64}{3})$

Этап 8.2.7

Вычтем $\frac{64}{3}$ из $0$ .

$- \frac{π}{2} (- \frac{64}{3})$

Этап 8.2.8

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{π}{2} \frac{64}{3}$

Этап 8.2.9

Умножим $\frac{π}{2}$ на $1$ .

$\frac{π}{2} \cdot \frac{64}{3}$

Этап 8.2.10

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{64}{3}$ .

$\frac{π \cdot 64}{2 \cdot 3}$

Этап 8.2.11

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{π \cdot 64}{6}$

Этап 8.2.12

Перенесем $64$ влево от $π$ .

$\frac{64 \cdot π}{6}$

Этап 8.2.13

Сократим общий множитель $64$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.13.1

Вынесем множитель $2$ из $64 π$ .

$\frac{2 (32 π)}{6}$

Этап 8.2.13.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.13.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 (32 π)}{2 (3)}$

Этап 8.2.13.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (32 π)}{2 \cdot 3}$

Этап 8.2.13.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{32 π}{3}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{32 π}{3}$

Десятичная форма:

$33.51032163 \dots$

Этап 10