Математический анализ Примеры

$\cos (5 x + y) = y$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (\cos (5 x + y)) = \frac{d}{d x} (y)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = 5 x + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $5 x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [5 x + y]$

Этап 2.1.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [5 x + y]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $5 x + y$ .

$- \sin (5 x + y) \frac{d}{d x} [5 x + y]$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $5 x + y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$- \sin (5 x + y) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.2.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (5 x + y) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \sin (5 x + y) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.2.4

Умножим $5$ на $1$ .

$- \sin (5 x + y) (5 + \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$- \sin (5 x + y) (5 + y')$

Этап 3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$- \sin (5 x + y) (5 + y') = y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Упростим $- \sin (5 x + y) (5 + y')$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Перепишем.

$0 + 0 - \sin (5 x + y) (5 + y') = y'$

Этап 5.1.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$- \sin (5 x + y) (5 + y') = y'$

Этап 5.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- \sin (5 x + y) \cdot 5 - \sin (5 x + y) y' = y'$

Этап 5.1.1.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.4.1

Умножим $5$ на $- 1$ .

$- 5 \sin (5 x + y) - \sin (5 x + y) y' = y'$

Этап 5.1.1.4.2

Изменим порядок множителей в $- 5 \sin (5 x + y) - \sin (5 x + y) y'$ .

$- 5 \sin (5 x + y) - y' \sin (5 x + y) = y'$

Этап 5.2

Вычтем $y'$ из обеих частей уравнения.

$- 5 \sin (5 x + y) - y' \sin (5 x + y) - y' = 0$

Этап 5.3

Добавим $5 \sin (5 x + y)$ к обеим частям уравнения.

$- y' \sin (5 x + y) - y' = 5 \sin (5 x + y)$

Этап 5.4

Вынесем множитель $y'$ из $- y' \sin (5 x + y) - y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $y'$ из $- y' \sin (5 x + y)$ .

$y' (- 1 \sin (5 x + y)) - y' = 5 \sin (5 x + y)$

Этап 5.4.2

Вынесем множитель $y'$ из $- y'$ .

$y' (- 1 \sin (5 x + y)) + y' \cdot - 1 = 5 \sin (5 x + y)$

Этап 5.4.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (- 1 \sin (5 x + y)) + y' \cdot - 1$ .

$y' (- 1 \sin (5 x + y) - 1) = 5 \sin (5 x + y)$

Этап 5.5

Перепишем $- 1 \sin (5 x + y)$ в виде $- \sin (5 x + y)$ .

$y' (- \sin (5 x + y) - 1) = 5 \sin (5 x + y)$

Этап 5.6

Разделим каждый член $y' (- \sin (5 x + y) - 1) = 5 \sin (5 x + y)$ на $- \sin (5 x + y) - 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Разделим каждый член $y' (- \sin (5 x + y) - 1) = 5 \sin (5 x + y)$ на $- \sin (5 x + y) - 1$ .

$\frac{y' (- \sin (5 x + y) - 1)}{- \sin (5 x + y) - 1} = \frac{5 \sin (5 x + y)}{- \sin (5 x + y) - 1}$

Этап 5.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Сократим общий множитель $- \sin (5 x + y) - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (- \sin (5 x + y) - 1)}{- \sin (5 x + y) - 1} = \frac{5 \sin (5 x + y)}{- \sin (5 x + y) - 1}$

Этап 5.6.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{5 \sin (5 x + y)}{- \sin (5 x + y) - 1}$

Этап 5.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sin (5 x + y) - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sin (5 x + y)$ .

$y' = \frac{5 \sin (5 x + y)}{- (\sin (5 x + y)) - 1}$

Этап 5.6.3.1.2

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{5 \sin (5 x + y)}{- (\sin (5 x + y)) - 1 (1)}$

Этап 5.6.3.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\sin (5 x + y)) - 1 (1)$ .

$y' = \frac{5 \sin (5 x + y)}{- (\sin (5 x + y) + 1)}$

Этап 5.6.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{5 \sin (5 x + y)}{\sin (5 x + y) + 1}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5 \sin (5 x + y)}{\sin (5 x + y) + 1}$