Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} {(1 + x)}^{\frac{3}{x}}$

Этап 1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(1 + x)}^{\frac{3}{x}}$ в виде $e^{\ln ({(1 + x)}^{\frac{3}{x}})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(1 + x)}^{\frac{3}{x}})}$

Этап 1.2

Развернем $\ln ({(1 + x)}^{\frac{3}{x}})$ , вынося $\frac{3}{x}$ из логарифма.

$lim_{x \to \infty} e^{\frac{3}{x} \ln (1 + x)}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{3}{x} \ln (1 + x)}$

Этап 2.2

Объединим $\frac{3}{x}$ и $\ln (1 + x)$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{3 \ln (1 + x)}{x}}$

Этап 2.3

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{3 lim_{x \to \infty} \frac{\ln (1 + x)}{x}}$

Этап 3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$e^{3 \frac{lim_{x \to \infty} \ln (1 + x)}{lim_{x \to \infty} x}}$

Этап 3.1.2

Когда логарифм стремится к бесконечности, значение стремится к $\infty$ .

$e^{3 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}}$

Этап 3.1.3

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$e^{3 \frac{\infty}{\infty}}$

Этап 3.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$e^{3 \frac{\infty}{\infty}}$

Этап 3.2

Поскольку $\frac{\infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (1 + x)}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$e^{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 1 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 + x$ .

$e^{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$e^{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 + x$ .

$e^{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [1 + x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.3

По правилу суммы производная $1 + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$e^{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + x} (0 + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.7

Умножим $\frac{1}{1 + x}$ на $1$ .

$e^{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + x}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.8

Изменим порядок членов.

$e^{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1}}{1}}$

Этап 3.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$e^{3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x + 1} \cdot 1}$

Этап 3.5

Умножим $\frac{1}{x + 1}$ на $1$ .

$e^{3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x + 1}}$

Этап 4

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x + 1}$ стремится к $0$ .

$e^{3 \cdot 0}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $3$ на $0$ .

$e^{0}$

Этап 5.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$1$