Математический анализ Примеры

$f (x) = \cos (x^{2})$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- \sin (x^{2}) (2 x)$

Этап 1.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \sin (x^{2}) x$

Этап 1.2.2.2

Изменим порядок множителей в $- 2 \sin (x^{2}) x$ .

$f' (x) = - 2 x \sin (x^{2})$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x \sin (x^{2})$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x \sin (x^{2})]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x \sin (x^{2})]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \sin (x^{2})$ .

$- 2 (x \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})] + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2}$ .

$- 2 (x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$- 2 (x (\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$- 2 (x (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 2 (x (\cos (x^{2}) (2 x)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 2 (x^{1} x (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 2 (x^{1} x^{1} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 2 (x^{1 + 1} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Добавим $1$ и $1$ .

$- 2 (x^{2} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.8.2

Перенесем $2$ влево от $\cos (x^{2})$ .

$- 2 (x^{2} (2 \cdot \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 (x^{2} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) \cdot 1)$

Этап 2.10

Умножим $\sin (x^{2})$ на $1$ .

$- 2 (x^{2} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}))$

Этап 2.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 (x^{2} (2 \cos (x^{2}))) - 2 \sin (x^{2})$

Этап 2.11.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = - 4 x^{2} \cos (x^{2}) - 2 \sin (x^{2})$

Этап 3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 4 x^{2} \cos (x^{2}) - 2 \sin (x^{2})$ .

$- 4 x^{2} \cos (x^{2}) - 2 \sin (x^{2})$