Математический анализ Примеры

$y = \frac{1}{2} {(x - 6)}^{2}$

Этап 1

Перепишем ${(x - 6)}^{2}$ в виде $(x - 6) (x - 6)$ .

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot ((x - 6) (x - 6))$

Этап 2

Развернем $(x - 6) (x - 6)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x (x - 6) - 6 (x - 6))$

Этап 2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 (x - 6))$

Этап 2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6)$

Этап 3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6)$

Этап 3.1.2

Перенесем $- 6$ влево от $x$ .

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 6 \cdot x - 6 x - 6 \cdot - 6)$

Этап 3.1.3

Умножим $- 6$ на $- 6$ .

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 6 x - 6 x + 36)$

Этап 3.2

Вычтем $6 x$ из $- 6 x$ .

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 12 x + 36)$

Этап 4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \cdot (- 12 x) + \frac{1}{2} \cdot 36$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- 12 x) + \frac{1}{2} \cdot 36$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 12 x$ .

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (- 6 x)) + \frac{1}{2} \cdot 36$

Этап 5.2.2

Сократим общий множитель.

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (- 6 x)) + \frac{1}{2} \cdot 36$

Этап 5.2.3

Перепишем это выражение.

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} - 6 x + \frac{1}{2} \cdot 36$

Этап 5.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $2$ из $36$ .

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} - 6 x + \frac{1}{2} \cdot (2 (18))$

Этап 5.3.2

Сократим общий множитель.

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} - 6 x + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 18)$

Этап 5.3.3

Перепишем это выражение.

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} - 6 x + 18$

Этап 6

Квадратичная функция достигает минимума в $x = - \frac{b}{2 a}$ . Если $a$ принимает положительные значения, то минимальным значением функции будет $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{минимум}$ $x = a x^{2} + b x + c$ входит в $x = - \frac{b}{2 a}$

Этап 7

Найдем значение $x = - \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Подставим в значения $a$ и $b$ .

$x = - \frac{- 6}{2 (0.5)}$

Этап 7.2

Избавимся от скобок.

$x = - \frac{- 6}{2 (0.5)}$

Этап 7.3

Упростим $- \frac{- 6}{2 (0.5)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Сократим общий множитель $- 6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$x = - \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 0.5}$

Этап 7.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 0.5$ .

$x = - \frac{2 \cdot - 3}{2 (0.5)}$

Этап 7.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = - \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 0.5}$

Этап 7.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = - \frac{- 3}{0.5}$

Этап 7.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Разделим $- 3$ на $0.5$ .

$x = - - 6$

Этап 7.3.2.2

Умножим $- 1$ на $- 6$ .

$x = 6$

Этап 8

Найдем значение $f (6)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $6$ .

$f (6) = \frac{{(6)}^{2}}{2} - 6 \cdot 6 + 18$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$f (6) = \frac{36}{2} - 6 \cdot 6 + 18$

Этап 8.2.1.2

Разделим $36$ на $2$ .

$f (6) = 18 - 6 \cdot 6 + 18$

Этап 8.2.1.3

Умножим $- 6$ на $6$ .

$f (6) = 18 - 36 + 18$

Этап 8.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Вычтем $36$ из $18$ .

$f (6) = - 18 + 18$

Этап 8.2.2.2

Добавим $- 18$ и $18$ .

$f (6) = 0$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 9

Используем значения $x$ и $y$ , чтобы найти, где достигается минимум.

$(6, 0)$

Этап 10